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解法二:如圖過點(diǎn)S作直線∥AD 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

（2010•盧灣區(qū)二模）數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題1：如圖1，四邊形ABCD是正方形，BC=1，對角線交點(diǎn)記作O，點(diǎn)E是邊BC延長線上一點(diǎn)．連接OE交CD邊于F，設(shè)CE=x，CF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域．
（1）經(jīng)過思考，小明認(rèn)為可以通過添加輔助線--過點(diǎn)O作OM⊥BC，垂足為M求解．你認(rèn)為這個(gè)想法可行嗎？請寫出問題1的答案及相應(yīng)的推導(dǎo)過程；
（2）如果將問題1中的條件“四邊形ABCD是正方形，BC=1”改為“四邊形ABCD是平行四邊形，BC=3，CD=2，”其余條件不變（如圖2），請直接寫出條件改變后的函數(shù)解析式；
（3）如果將問題1中的條件“四邊形ABCD是正方形，BC=1”進(jìn)一步改為：“四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=a，CD=b，AD=c（其中a，b，c為常量）”其余條件不變（如圖3），請你寫出條件再次改變后y關(guān)于x的函數(shù)解析式以及相應(yīng)的推導(dǎo)過程．

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解：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

∵ 點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，

∴ 可設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為.

將代入拋物線的解析式，得.

∴ 過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為.

（2）可得拋物線的對稱軸為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為

，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為G.

直線BC的解析式為.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

解法一：如圖8，作OP∥AD交直線BC于點(diǎn)P，

連結(jié)AP，作PM⊥x軸于點(diǎn)M.

∵ OP∥AD，

∴ ∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD.

∴ ，即.

解得. 經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解.

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

但此時(shí)，OM＜GA.

∵

∴ OP＜AD，即四邊形的對邊OP與AD平行但不相等，

∴ 直線BC上不存在符合條件的點(diǎn)P. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分

解法二：如圖9，取OA的中點(diǎn)E，作點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)E的對稱點(diǎn)P，作PN⊥x軸于

點(diǎn)N. 則∠PEO=∠DEA，PE=DE.

可得△PEN≌△DEG ．

由，可得E點(diǎn)的坐標(biāo)為.

NE=EG=， ON=OE－NE=，NP=DG=.

∴ 點(diǎn)P的坐標(biāo)為.∵ x=時(shí)，，

∴ 點(diǎn)P不在直線BC上.

∴ 直線BC上不存在符合條件的點(diǎn)P .

（3）的取值范圍是.

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小明和同桌小聰在課后做作業(yè)時(shí)，對課本中的一道作業(yè)題，進(jìn)行了認(rèn)真探索．

【作業(yè)題】如圖1，一個(gè)半徑為100m的圓形人工湖如圖所示，弦AB是湖上的一座橋，測得圓周角∠C=45°，求橋AB的長．

小明和小聰經(jīng)過交流，得到了如下的兩種解決方法：

方法一：延長BO交⊙O與點(diǎn)E，連接AE，得 Rt△ABE，∠E=∠C，∴AB=；

方法二：作AB的弦心距OH，連接OB， ∴∠BOH=∠C，解Rt△OHB， ∴HB=，∴AB=．

感悟：圓內(nèi)接三角形的一邊和這邊的對銳角、圓的半徑（或直徑）這三者關(guān)系，可構(gòu)成直角三角形，從而把一邊和這邊的對銳角﹑半徑建立一個(gè)關(guān)系式．

（1）問題解決：受到（1）的啟發(fā)，請你解下面命題：如圖2，點(diǎn)A（3，0）、B（0，），C為直線AB上一點(diǎn)，過A、O、C的⊙E的半徑為2．求線段OC的長．

（2）問題拓展：如圖3，△ABC中，∠ ACB=75°，∠ABC=45°，AB=，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連結(jié)EF，設(shè)⊙O半徑為x， EF為y．①y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②求線段EF長度的最小值．