題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系內已知兩點A(-1,0)、B(1,0),若將動點P(x,y)的橫坐標保持不變，縱坐標擴大到原來的
倍后得到點Q(x,y),且滿足
·
=1.
(1)求動點P所在曲線C的方程；
(2)過點B作斜率為-
的直線L交曲線C于M、N兩點，且
+
+
=
，試求△MNH的面積.
（本小題滿分14分）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=1，D、E分別為棱AB、BC的中點，M為棱AA1上的點。
（1）證明：A1B1⊥C1D；
（2）當
的大小。
（本小題滿分14分）
在
ABC中角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足（2a-c）cosB=bcosC
(1)求角B的大小；
(2設向量m= (sinA,cos2A),n=(k,1)，且m
n＞1恒成立，求k的取值范圍.
（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0），B（0，—2），點C滿足
，其中
，且
，
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設點C的軌跡與雙曲線
（a>0，b>0）相交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經過原點，求證：
為定值；
（3）在（2）的條件下，若雙曲線的離心率不大于
，求雙曲線實軸長的取值范圍。
（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系xOy上，給定拋物線L:
．實數p，q滿足
，x1，x2是方程
的兩根，記
。
（1）過點
作L的切線教y軸于點 B．證明：對線段AB上任一點Q（p，q）有
（2）設M（a，b）是定點，其中a，b滿足a2-4b>0,a≠0．過M（a，b）作L的兩條切線
，切點分別為
，與y軸分別交與F,F'。線段EF上異于兩端點的點集記為X．證明：M（a,b） 
X
;
（3）設D={ （x,y）|y≤x-1,y≥
（x+1）2-
}．當點（p,q）取遍D時，求
的最小值 （記為
）和最大值（記為
）．
1－10：DCDAABCBCDC
11., 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .
1．函數的定義域是，解得x≥1，選D.
2．向量若時，∥，∴ ；時，，，選C.
3．的展開式中的系數=x3， 則實數的值是2，選D
4．過半徑為2的球O表面上一點A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°，則截面圓的半徑是R=1，該截面的面積是π，選A.
5．若“”，則函數=在區間上為增函數；而若在區間上為增函數，則0≤a≤1，所以“”是“函數在區間上為增函數”的充分不必要條件，選A.
6．在數字1，2，3與符號“＋”，“－”五個元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有種排法，再將“＋”，“－”兩個符號插入，有種方法，共有12種方法，選B.
7．圓的圓心為(2，2)，半徑為3，圓心到到直線的距離為>3，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是2R =6，選C.
8．設點P是函數的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸上的距離的最小值，∴ 最小正周期為π，選B.
9．過雙曲線的左頂點(1，0)作斜率為1的直線：y=x－1, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點, 聯立方程組代入消元得，∴ ，x1+x2=2x1x2，又,則B為AC中點，2x1=1+x2，代入解得，∴ b2=9，雙曲線的離心率e=，選D.
10．如圖，OM∥AB，點P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區域內（不含邊界）.且，
由圖知，x<0，當x=－時，即=－，P點在線段DE上，=，=，而<<，∴ 選C.
二．填空題：
11.； 12. 85； 13. 5 ； 14. 6 ； 15. －3 .
11．數列滿足：，2，3…，該數列為公比為2的等比數列，∴ .
12．某高校有甲、乙兩個數學建模興趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 現分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數學建模興趣班的平均成績是分.
13．已知，如圖畫出可行域，得交點A(1，2)，B(3，4)，則的最小值是5.
14．過三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有6條。
15．是偶函數，取a=－3，可得為偶函數。
16. 解 由已知條件得.
即.
解得.
由0＜θ＜π知，從而.
17. 解 （Ⅰ）每家煤礦必須整改的概率是1－0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨立的. 所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是.
（Ⅱ）解法一 某煤礦被關閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經復查仍不合格，所以該煤礦被關閉的概率是，從而煤礦不被關閉的概率是0.90.
解法二 某煤礦不被關閉包括兩種情況：（i）該煤礦第一次安檢合格；（ii）該煤礦第一次安檢不合格，但整改后合格.
所以該煤礦不被關閉的概率是.
(Ⅲ)由題設（Ⅱ）可知，每家煤礦不被關閉的概率是0.9，且每家煤礦是否被關閉是相互獨立的，所以到少關閉一家煤礦的概率是.
18. 解法一 （Ⅰ）連結AC、BD，設.
由P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）由題設知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
所以
于是.
從而異面直線AQ與PB所成的角是.
(Ⅲ)由（Ⅱ），點D的坐標是（0，－，0），，
，設是平面QAD的一個法向量，由
得.
取x=1，得.
所以點P到平面QAD的距離.
解法二 （Ⅰ）取AD的中點，連結PM，QM.
因為P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，
所以AD⊥PM，AD⊥QM. 從而AD⊥平面PQM.
又平面PQM，所以PQ⊥AD.
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.
因為OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC為平行四邊形，AQ∥PC.
從而∠BPC（或其補角）是異面直線AQ與PB所成的角.
因為，
所以.
從而異面直線AQ與PB所成的角是.
(Ⅲ)連結OM，則.
所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.
由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 從而PM的長是點P到平面QAD的距離.
在直角△PMO中，.
即點P到平面QAD的距離是.
19. 解 （Ⅰ）由題設知.
令.
當（i）a>0時，
若，則，所以在區間上是增函數；
若，則，所以在區間上是減函數；
若，則，所以在區間上是增函數；
（i i）當a＜0時，
若，則，所以在區間上是減函數；
若，則，所以在區間上是減函數；
若，則，所以在區間上是增函數；
若，則，所以在區間上是減函數.
（Ⅱ）由（Ⅰ）的討論及題設知，曲線上的兩點A、B的縱坐標為函數的極值，且函數在處分別是取得極值，.
因為線段AB與x軸有公共點，所以.
即.所以.
故.
解得 －1≤a＜0或3≤a≤4.
即所求實數a的取值范圍是[-1，0)∪[3，4].
20. 解 （Ⅰ）由已知得，
.
（Ⅱ）因為，
所以.
又因為，
所以
=.
綜上，.
21. 解 （Ⅰ）當AB⊥x軸時，點A、B關于x軸對稱，所以m＝0，直線AB的方程為
x=1，從而點A的坐標為（1，）或（1，－）.
因為點A在拋物線上，所以，即.
此時C2的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上.
（Ⅱ）解法一 當C2的焦點在AB時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為.
由消去y得. ……①
設A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）,
則x1,x2是方程①的兩根，x1＋x2＝.
所以，且
.
從而.
所以，即.
解得.
因為C2的焦點在直線上，所以.
即.
當時，直線AB的方程為；
當時，直線AB的方程為.
解法二 當C2的焦點在AB時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程
為.
由消去y得. ……①
因為C2的焦點在直線上，
所以，即.代入①有.
即. ……②
設A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）,
則x1,x2是方程②的兩根，x1＋x2＝.
由消去y得. ……③
由于x1,x2也是方程③的兩根，所以x1＋x2＝.
從而＝. 解得.
因為C2的焦點在直線上，所以.
即.
當時，直線AB的方程為；
當時，直線AB的方程為.
解法三 設A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）,
因為AB既過C1的右焦點，又是過C2的焦點，
所以.
即. ……①
由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率， ……②
且直線AB的方程是,
所以. ……③
又因為，所以. ……④
將①、②、③代入④得，即.
當時，直線AB的方程為；
當時，直線AB的方程為.
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