題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）設函數f (x)滿足f (0) =1，且對任意
，都有f (xy+1) = f (x) f (y)－f (y)－x+2．(I) 求f (x) 的解析式；(II) 若數列{an}滿足：an+1=3f (an)－1(n ?? N*)，且a1=1，求數列{an}的通項公式；
(Ⅲ)求數列{an}的前n項和Sn．
（本小題滿分14分）
設函數f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(t∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值s(t)；
(2)若s(t)<－2t＋m對t∈(0,2)時恒成立，求實數m的取值范圍．
（本小題滿分14分）設函數f(x) = x2 + bln(x+1),
（1）若對定義域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求實數b的值；
（2）若函數f(x)在定義域上是單調函數，求實數b的取值范圍；
（3）若b = -1,，證明對任意的正整數n，不等式
都成立
（本小題滿分14分）設函數f(x)＝
x2＋ex－xex.(1)求f(x)的單調區間；
(2)若當x∈[－2,2]時，不等式f(x)＞m恒成立，求實數m的取值范圍．
一、選擇題: CCBCD DCDBB C A
二、填空題: 13. 45 14. 30 15. 
16. 
三、解答題:17.解: （1） 
………1分
，化簡得
…3分
（2）
)
令
Z），函數f(α)的對稱軸方程為
Z).……12分
18.解：（1）油罐沒被引爆分兩種情形：
①5發子彈只有1發擊中，其概率為：
②5發子彈全沒有擊中，其概率為
（2）
的可能取值為2，3，4，5.
∴的分布列為：
2
3
4
5
P
的數學期望為：E=2×+3×
+4×
+5×
=
.……………………12分
19.
（1）證明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB.……(3分) 又BC
平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB.……5分
（2）解：過A作AF∥BC，交CD于F，以A為原點，AF，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.
設PA=AB=BC=a,則A(0,0,0), B(0,a,0)，C(a,a,0),
P(0,0,a), E(0, 
.……………………………………8分
設n1=(x,y,1)為平面AEC的一個法向量， 則n1⊥
，n1⊥
,
∴
解得x=
, y=-,∴n1=(,-,1).
設n2=(x′,y′,1)為平面PBC的一個法向量，同理可得n2=(0,1,1).…………11分
cos<n1,n2>=
=
∴平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值為
.…12分
20. 解：（1）由an+1=2an+n+1可得an+1+(n+1)+2=2(an+n+2),
所以數列{an+n+2}是一個公比為2的等比數列，其首項為a1+1+2=-1+1+2=2,
于是an+n+2=2?2n-1=2n.…………(10分) 故an=2n-n-2.
{an}的前n項和Sn=
……6分
（2）證明：假設{an}是等比數列，設其首項為a1,
則a2=2a1+2, a3=2a2+3=4a1+7,………(8分)于是有(2a1+2)2=a1(4a1+7)，解得：a1=-4,于是公比
,這時a4=a1q3=(-4)×(
)3=-
.…………………10分
但是由題中所給遞推公式，a4=2a3+4=8a1+18=-14，二者矛盾，所以{an}不可能是等比數列.………………12分
21.解：（1）設橢圓C的方程為
半焦距為c，依題意有
|PF|=|F1F2|=2c
∴
解得
，∴b=1. ∴所求橢圓方程為
…4分
（2）由
得
.
設點A、B的坐標分別為A(x1, y1)、B(x2,y2),
……………………6分
.
①當m=0時，點A、B關于原點對稱，則λ=0.②當m≠0時，點A、B不關于原點對稱，則λ≠0.
∵點Q在橢圓上，∴有
……………8分
化簡得4m2(1+2k2)= 
∵
∵直線與橢圓交于不同的兩點，△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2+1-m2) ∴ (1+2k2-m2)>0,
1+2k2>m2.(**)…(10分)由（*）（**）可得4m2>
.∵m≠0, ∴
綜上，實數
的取值范圍是(-2,2).………………………………………12分
22.解：（1）函數f(x)的定義域為：（-∞, -1）∪(-1, +∞),……………………1分
∵
…………………………………2分
令
令
得x<-2或-1<x<0.
則函數f(x)的遞增區間是(-2,-1), (0, +∞),遞減區間是（-∞, -2）, (-1, 0).………4分
（2）由（1）知，f(x)在[
上遞減，在[0，e-1]上遞增，又
，故m> e2-2時，不等式恒成立.……8分
（3）依題意，原命題等價于方程x-a+1-ln(1+x)2=0在x∈[0, 2]上有兩個相異的實根，……9分
記h(x)=x-a+1-ln(1+x)2, 則h′(x)=1-
令h′(x)>0，得x<-1或x>1，令h′(x)<0，得-1<x<1.
∴h(x)在[0, 1)上遞減，在(1,2]上遞增.………………10分
為使h(x)在[0,2]上恰好有兩個相異的實根，只須h(x)=0在[0,1)和(1,2]上各有一個實根，于是有
即a的取值范圍是(2-ln2, 3-ln3].…………14分
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