題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
已知函數
。
�。á瘢┰O{an}是正數組成的數列，前n項和為Sn，其中a1=3，若點
(n∈N*)在函數y=f′(x)的圖象上，求證：點（n, Sn）也在y=f′(x)的圖象上；
�。á颍┣蠛瘮�f(x)在區間（a-1,a）內的極值。
（本小題滿分12分）遞增等比數列｛an｝中a1=2，前n項和為Sn，S2是a2，a3的等差中項：（Ⅰ）求Sn及an；（Ⅱ）數列｛bn｝滿足
的前n項和為Tn，求
的最小值.
（本小題滿分12分）已知等差數列{an}的首項
，前n項和為Sn，且S4+a2=2S3；等比數列{bn}滿足b1=a2，b2=a4 （Ⅰ）求證：數列{bn}中的每一項都是數列{an}中的項；
（Ⅱ）若a1=2，設
，求數列{cn}的前n項的和Tn
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若有
的最大值．
（本小題滿分12分）
已知等差數列{an}中，首項a1=1，公差d為整數，且滿足a1+3＜a3，a2+5＞a4，數列{bn}滿足
，其前n項和為Sn.
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式an；
（Ⅱ）若S2為S1，Sm（m∈N*）的等比中項，求正整數m的值.
（本小題滿分12分）
在數列{an}中，a1=1，當n≥2時，an,Sn,Sn－
成等比數列
(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式；
(2)用數學歸納法證明所得的結論；
一、選擇題:
1. C 2. C 3. B 4.C 5. D 6. D 7. C 8. D 9. B 10. A 11. C 12. C
二、填空題:
13. 85，1.6 14. 800 15. 
16. 
三、解答題:
17.解: （1）
………………………1分
，
化簡得
…………………………3分
（2）
)
令
Z），函數f(α)的對稱軸方程為
Z).………………………………………………………12分
18.
解：（1）從盒中同時摸出兩個球，有
種可能情況，…………2分
摸出兩球顏色恰好相同即兩個黑球或兩個白球，有1+
種情況，……4分
故所求概率是
………………………………………………………………6分
（2）從盒中摸出一個球，放回后再摸出一個球，共有5×5=25種情況，……8分
若兩球顏色不同，即“先黑后白”或“先白后黑”，共有2×3+3×2=12種可能情況，故所求概率是
………………………………………………………………………12分
（本題也可一一列出基本事件空間后求解）
19.解：（1）an+1+an=3n-54, an+2+an+1=3(n+1)-54.
兩式相減得an+2-an=3(n∈N*)，
∴數列a1,a3,a5,……, a2, a4, a6, …都是公差為3的等差數列.……………………1分
a1=-27, a1+a2==-51, a2=-24。采用疊加法可得，
當n為奇數時，an=
；…………………………3分
當n為偶數時，an=
……………………………5分
∴an=
………………………………6分
（2）因為n為偶數，所以
Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+……+(an-1+an)…………………………8分
=(3×1－54)+(3×3?54)+……+[3(n?1)?54]
=
…………………………………………10分
若n為偶數，當n=18時，Sn取到最小值-243.……………………12分
20. （1）證明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.
又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB.……2分
又BC
平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB.……4分
（2）證明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.
又PC⊥AD，∴AD⊥平面PAC，∴AC⊥AD.
在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=
，
∴∠DCA=∠BAC=.
又AC⊥AD，故△DAC為等腰直角三角形。
∴DC=2AB, 
……………………8分
（3）連結BD，交AC于點M，連結EM，則
在△BPD中，
∴PD∥EM.
又PD
平面EAC，EM平面EAC，
∴PD∥平面EAC.……………………（12分）
21.解：（1）設直線AB的方程為y=k(x+1),
將y=k(x+1)代入x2+3y2=5, 消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.………2分
△=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)>0恒成立，
設A(x1,y1), B(x2,y2), 則x1+x2=
,………………………………4分
由線段AB中點的橫坐標是
，
得
解得k=±
.……………………5分
所以直線AB的方程為
或
……………………6分
（2）假設在x軸上存在點M（m, 0），使
為常數.
由（1）知x1+x2=
①
所以
=
=
……………………8分
將①代入上式，整理得
，
∴
∵
綜上，在x軸上存在定點M
，使為常數……………………12分
22.解：（1）f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=
,
令f′(x)=0，得x=e1-a.……………………3分
當x∈（0, e1-a）時，f′(x)>0,f(x)在(0, e1-a)內是單調遞增，當x∈(e1-a,+∞)時，f′(x)<0,f(x)在(e1-a,+∞)內是單調遞減.…………………………6分
∴f(x)在x=e1-a處取得極大值f(e1-a)=ea-1.………………8分
（2）∵a>0, ∴e1-a<e2,∴[f(x)]max=f(e1-a)=ea-1,………………10分
∴f(x)的圖象g(x)=1的圖象在(0,e2]上有公共點，等價于ea-1≥1，……………12分
兩邊以e底取對數可解得a≥1，故a的取值范圍是[1,+∞)……………………14分
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