題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數
。
（1）證明：
（2）若數列
的通項公式為
，求數列 的前
項和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設數列
滿足：
，設
，
若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸，點
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點，又過、作軌跡的切線
、
，當
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設函數
（1）求函數
的單調區間；
（2）若當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區間
上恰好有兩個相異的實根，求實數
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數，
（1）討論
時, 
的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實數
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設數列
的前
項和為
，對任意的正整數，都有
成立，記
。
（I）求數列
的通項公式；
（II）記
，設數列
的前項和為
，求證：對任意正整數都有
；
（III）設數列的前項和為
。已知正實數
滿足：對任意正整數
恒成立，求的最小值。
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
D
B
C
C
B
C
D
二、填空題
11．
cosx+sinx _ 12．
13．_____ -1____________ 14．
15．
16．
17．
三、解答題
18．解：由橢圓的標準方程知橢圓的焦點為
，離心率為
………………3分
因為雙曲線與橢圓有相同的焦點，所以，雙曲線焦點在x軸上，c=4，………………2分
又雙曲線與橢圓的離心率之和為
，故雙曲線的離心率為2，所以a=2………………4分
又b2=c2-a2=16-4=12。………………………………………………………………………2分
所以雙曲線的標準方程為
。………………………………………………1分
19．解：p真：m<0…………………………………………………………………………2分
q真：
……………………………………………………………2分
故-1<m<1。…………………………………………………………………………………2分
由
和
都是假命題知：p真q假，………………………………………………4分
故
。………………………………4分
20．解：（1）設|PF2|=x，則｜PF1|=2a-x……………………………………………………2分
∵
，∴
， ∴
…………1分
∴
，……………………………………………………………………2分
………………………………2分
（2）由題知a=4，
，故
………………………………………………1分
由
得
，…………………………………………………………………1分
又
……………………………………2分
故
，代入橢圓方程得
，………………………………………2分
故Q點的坐標為
，
，
，
。
…………………………………………………………………………………………………2分
21．解：（1）由函數
，求導數得
，…1分
由題知點P在切線上，故f(1)=4，…………………………………………………………1分
又切點在曲線上，故1+a+b+c=4①…………………………………………………………1分
且
，故3+2a+b=3②………………………………………………………………1分
③……………………2分
故
……………………1分
（2）
…………………………1分
x
－2
+
0
－
0
+
極大值
極小值
有表格或者分析說明…………………………………………………………………………3分
，…………………………………………………………2分
∴f(x)在[-3，1]上最大值為13。故m的取值范圍為{m|m>13}………………………2分
22．解：（1）由題意設過點M的切線方程為：
，…………………………1分
代入C得
，則
，………………2分
，即M（－1，
）．………………………………………2分
另解：由題意得過點M的切線方程的斜率k=2，…………………………………………1分
設M(x0，y0)，
，………………………………………………………………1分
由導數的幾何意義可知2x0+4=2，故x0= -1，……………………………………………2分
代入拋物線可得y0=，點M的坐標為（－1，）……………………………………1分
（2）假設在C上存在點
滿足條件．設過Q的切線方程為：
，代入
，
則
，
且
．………………………………………………………2分
若
時，由于
，…………………2分
當a＞0時，有
∴ 
或 
；……………………………………2分
當a≤0時，∵k≠0，故 k無解。……………………………………………………1分
若k=0時，顯然
也滿足要求．…………………………………………1分
綜上，當a>0時，有三個點（－2＋
，
），（－2－，
）及（－2，－
），且過這三點的法線過點P（－2，a），其方程分別為：
x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2。
當a≤0時，在C上有一個點（－2，－），在這點的法線過點P（－2，a），其方程為：x＝－2。……………………………………………………………………………………3分
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