題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
如圖，甲船以每小時
海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于
處時，乙船位于甲船的北偏西
方向的
處，此時兩船相距
海里，當甲船航行分鐘到達
處時，乙船航行到甲船的北偏西
方向的
處，此時兩船相距
海里，問乙船每小時航行多少海里？
（本小題滿分12分）如圖，甲船以每小時
海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于
處時，乙船位于甲船的北偏西
方向的
處，此時兩船相距
海里，當甲船航行
分鐘到達
處時，乙船航行到甲船的北偏西
方向的
處，此時兩船相距海里，問乙船每小時航行多少海里？
（本小題滿分12分）
如圖，甲船以每小時
海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于
處時，乙船位于甲船的北偏西
方向的
處，此時兩船相距
海里，當甲船航行分鐘到達
處時，乙船航行到甲船的北偏西
方向的
處，此時兩船相距
海里，問乙船每小時航行多少海里？
（本小題滿分12分）如圖，甲船以每小時
海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于
處時，乙船位于甲船的北偏西
方向的
處，此時兩船相距
海里，當甲船航行
分鐘到達
處時，乙船航行到甲船的北偏西
方向的
處，此時兩船相距海里，問乙船每小時航行多少海里？
（本題滿分12分）如圖，甲船以每小時
海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于
處時，乙船位于甲船的北偏西
方向的
處，此時兩船相距
海里，當甲船航行分鐘到達
處時，乙船航行到甲船的北偏西
方向的
處，此時兩船相距
海里，問乙船每小時航行多少海里？(結論保留根號形式)
2006年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試
上海 數(shù)學試卷（理工農醫(yī)類）
考生注意：
1．答卷前，考生務必將姓名、高考準考證號、校驗碼等填寫清楚．
2．本試卷共有22道試題，滿分150分，考試時間120分鐘．請考生用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上．
一．填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得4
分，否則一律得零分．）
1．已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，則實數(shù)＝ ；
解：由，經檢驗，為所求；
2．已知圓－4－4＋＝0的圓心是點P，則點P到直線－－1＝0的距離是 ；
解：由已知得圓心為：，由點到直線距離公式得：；
3．若函數(shù)＝（＞0，且≠1）的反函數(shù)的圖像過點（2，－1），則＝ ；
解：由互為反函數(shù)關系知，過點，代入得：；
4．計算：＝ ；
解：；
5．若復數(shù)同時滿足－＝2，＝（為虛數(shù)單位），則＝ ；
解：已知；
6．如果＝，且是第四象限的角，那么＝ ；
解：已知；
7．已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的
標準方程是 ；
解：已知為所求；
8．在極坐標系中，O是極點，設點A（4，），B（5，－），則△OAB的面積是 ；
解：如圖△OAB中，
(平方單位)；
9．兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本．將它們任意地排成
一排，左邊4本恰好都屬于同一部小說的概率是 （結果用分數(shù)表示）；
解：分為二步完成： 1) 兩套中任取一套，再作全排列，有種方法；
2) 剩下的一套全排列，有種方法；
所以，所求概率為：；
10．如果一條直線與一個平面垂直，則稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體
中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數(shù)是 ；
解：正方體中，一個面有四條棱與之垂直，六個面，共構成24個“正交線面對”；而正方
體的六個對角截面中，每個對角面又有兩條面對角線與之垂直，共構成12個“正交線
面對”，所以共有36個“正交線面對”；
11．若曲線＝||＋1與直線＝＋沒有公共點，則、分別應滿足的條件是 ．
解：作出函數(shù)的圖象，
如右圖所示：
所以，；
12．三個同學對問題“關于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求實數(shù)
的取值范圍”提出各自的解題思路．
甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”．
乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”．
丙說：“把不等式兩邊看成關于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”．
參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即的取值范圍是 ；
解：由＋25＋|－5|≥，
而，等號當且僅當時成立；
且，等號當且僅當時成立；
所以，，等號當且僅當時成立；故；
二．選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結
論，其中有且只有一個結論是正確的，必本大題滿分16分）須把正確結論的代號寫在題
后的圓括號內，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括
號內），一律得零分．
（A）； （B）；
（C）； （D）；
解：由向量定義易得， （C）選項錯誤；；
14．若空間中有四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面上”
的 [答]（ ）
（A）充分非必要條件；（B）必要非充分條件；（C）充要條件；（D）非充分非必要條件；
解： 充分性成立： “這四個點中有三點在同一直線上”有兩種情況：
1）第四點在共線三點所在的直線上，可推出“這四個點在同一平面上”；
2）第四點不在共線三點所在的直線上，可推出“這四點在唯一的一個平面內”；
必要性不成立：“四個點在同一平面上”可能推出“兩點分別在兩條相交或平行直線上”；
故選（A）
15．若關于的不等式≤＋4的解集是M，則對任意實常數(shù)，總有[答]（ ）
（A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M；
解：選（A）
方法1：代入判斷法，將分別代入不等式中，判斷關于的不等式解集是
否為；
方法2：求出不等式的解集：
≤＋4；
16．如圖，平面中兩條直線和相交于點O，對于平面上任意一點M，若、分別是M到
已知常數(shù)≥0，≥0，給出下列命題：
① 若＝＝0，則“距離坐標”為（0，0）的
點有且僅有1個；
② 若＝0，且＋≠0，則“距離坐標”為
（，）的點有且僅有2個；
③ 若≠0，則“距離坐標”為（，）的點有且僅有4個．
上述命題中，正確命題的個數(shù)是 [答]（ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
解：選（D）
① 正確，此點為點； ② 正確，注意到為常數(shù)，由中必有一個為零，另
一個非零，從而可知有且僅有2個點，這兩點在其中一條直線上，且到另一直線的距
離為（或）； ③ 正確，四個交點為與直線相距為的兩條平行線和與直線
相距為的兩條平行線的交點；
三．解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．
17．（本題滿分12分）
求函數(shù)的值域和最小正周期．
[解]
∴ 函數(shù)的值域是,最小正周期是；
18．（本題滿分12分）
如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待
營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙
船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到）？
[解] 連接BC,由余弦定理得
BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10.
∵, ∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船應朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援.
19．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）
在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60，對角線AC與BD相交
（1）求四棱錐P－ABCD的體積；
（2）若E是PB的中點，求異面直線
DE與PA所成角的大小（結果用
反三角函數(shù)值表示）．
[解]（1）在四棱錐P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得
∠PBO是PB與平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,
于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面積為2.
∴四棱錐P-ABCD的體積V=×2×=2.
（2）解法一：以O為坐標原點,射線OB、OC、
OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立
空間直角坐標系.
在Rt△AOB中OA=,于是,點A、B、
D、P的坐標分別是A(0,－,0),
B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, ).
E是PB的中點,則E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).
設的夾角為θ,有cosθ=,θ=arccos,
∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos；
解法二：取AB的中點F,連接EF、DF.
由E是PB的中點,得EF∥PA，
∴∠FED是異面直線DE與PA所成
角(或它的補角)，
在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP，
于是, 在等腰Rt△POA中，
PA=，則EF=.
在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=，
cos∠FED==
∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos.
20．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）
在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點．
（1）求證：“如果直線過點T（3，0），那么＝3”是真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．
[解]（1）設過點T(3,0)的直線交拋物線y2=2x于點A(x1,y1)、B(x2,y2).
當直線的鈄率不存在時,直線的方程為x=3,此時,直線與拋物線相交于點A(3,)、B(3,－). ∴=3；
當直線的鈄率存在時,設直線的方程為，其中，
由得
又 ∵ ，
∴，
綜上所述，命題“如果直線過點T(3,0)，那么=3”是真命題；
(2)逆命題是：設直線交拋物線y2=2x于A、B兩點,如果=3,那么該直線過點T(3,0).該命題是假命題.
例如：取拋物線上的點A(2,2)，B(,1)，此時=3,
直線AB的方程為：，而T(3,0)不在直線AB上；
說明：由拋物線y2=2x上的點A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3，可得y1y2=－6，
或y1y2=2，如果y1y2=－6，可證得直線AB過點(3,0)；如果y1y2=2，可證得直線
AB過點(－1,0),而不過點(3,0).
21．（本題滿分16分，本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題
滿分6分）
已知有窮數(shù)列共有2項（整數(shù)≥2），首項＝2．設該數(shù)列的前項和為，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常數(shù)＞1．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若＝2，數(shù)列滿足＝（＝1，2，┅，2），
求數(shù)列的通項公式；
（3）若（2）中的數(shù)列滿足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|
≤4，求的值．
(1) [證明] 當n=1時,a2=2a,則=a；
2≤n≤2k－1時, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2,
an+1－an=(a－1) an, ∴=a, ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(2) 解：由(1) 得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2,
bn=(n=1,2,…,2k).
（3）設bn≤,解得n≤k+,又n是正整數(shù),于是當n≤k時, bn<；
當n≥k+1時, bn>.
原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－)
=(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)
==.
當≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2≤k≤4+2,又k≥2,
∴當k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立.
22．（本題滿分18分，本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題
滿分9分）
已知函數(shù)＝＋有如下性質：如果常數(shù)＞0，那么該函數(shù)在0，上是減函數(shù)，在，＋∞上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)＝＋（＞0）的值域為6，＋∞，求的值；
（2）研究函數(shù)＝＋（常數(shù)＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；
（3）對函數(shù)＝＋和＝＋（常數(shù)＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的
函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數(shù)
＝＋（是正整數(shù)）在區(qū)間[，2]上的最大值和最小值（可利
用你的研究結論）．
[解]（1）函數(shù)y=x+(x>0)的最小值是2，則2=6, ∴b=log29.
(2) 設0<x1<x2,y2－y1=.
當<x1<x2時, y2>y1, 函數(shù)y=在[,+∞)上是增函數(shù)；
當0<x1<x2<時y2<y1, 函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù).
又y=是偶函數(shù)，于是，
該函數(shù)在(－∞,－]上是減函數(shù), 在[－,0)上是增函數(shù)；
(3) 可以把函數(shù)推廣為y=(常數(shù)a>0),其中n是正整數(shù).
當n是奇數(shù)時,函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞) 上是增函數(shù),
在(－∞,－]上是增函數(shù), 在[－,0)上是減函數(shù)；
當n是偶數(shù)時,函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞) 上是增函數(shù),
在(－∞,－]上是減函數(shù), 在[－,0)上是增函數(shù)；
F(x)=+
=
因此F(x) 在 [,1]上是減函數(shù),在[1,2]上是增函數(shù).
所以，當x=或x=2時，F(xiàn)(x)取得最大值()n+()n；
當x=1時F(x)取得最小值2n+1；
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