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某地區試行高考考試改革：在高三學年中舉行4次統一測試，學生如果通過其中2次測試即可獲得足夠學分升上大學繼續學習，不再參加其余的測試，而每個學生最多也只能參加4次測試．假設某學生每次通過測試的概率都是，每次測試時間間隔恰當，每次測試通過與否互相獨立．
（Ⅰ）求該學生在前兩次測試中至少有一次通過的概率；
（Ⅱ）如果考上大學或參加完4次測試，那么測試就結束．記該生參加測試的次數為X，求X的分布列及X的數學期望．

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某地區試行高考考試改革：在高三學年中舉行5次統一測試，學生如果通過其中2次測試即可獲得足夠學分升上大學繼續學習，不用參加其余的測試，而每個學生最多也只能參加5次測試．假設某學生每次通過測試的概率都是，每次測試通過與否互相獨立．規定：若前4次都沒有通過測試，則第5次不能參加測試．
（Ⅰ）求該學生考上大學的概率．
（Ⅱ）如果考上大學或參加完5次測試就結束，記該生參加測試的次數為ξ，求變量ξ的分布列及數學期望Eξ．

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第 一 部 分

一、填空題：

1．        2．          3．1            4．16

5．                                 6．               7．64           8．

9．25                                 10．①④            11．        12．

13．                          14．

二、解答題：

15．解：（Ⅰ）依題意：，

即，解之得，（舍去）   …………………7分

（Ⅱ），∴  ，，  ………………………9分

∴    …………………………………11分

．      ……………………………………………14分

16．解：（Ⅰ）因為主視圖和左視圖均為矩形、所以該三棱柱為直三棱柱．

連BC₁交B₁C于O，則O為BC₁的中點，連DO。

則在中，DO是中位線，

∴DO∥AC₁．                ………………………………………………………4分

∵DO平面DCB₁，AC₁平面DCB₁，

∴AC₁∥平面CDB₁．           ………………………………………………………7分

（Ⅱ）由已知可知是直角三角形，．

∵  ，

∴  平面，平面，

∴   。

∵   ，

∴  平面，

又平面，

∴  。

17．解：（Ⅰ）由題意知：，

一般地： ，…4分

∴  （）。……………………………………7分

（Ⅱ）2008年諾貝爾獎發獎后基金總額為：

 ，…………………………………………10分

2009年度諾貝爾獎各項獎金額為萬美元， ………12分

與150萬美元相比少了約14萬美元。     …………………………………………14分

答：新聞 “2009年度諾貝爾獎各項獎金高達150萬美元”不真，是假新聞。……15分

18．解：（Ⅰ）圓與軸交點坐標為，

，，故，    …………………………………………2分

所以，

橢圓方程是：               …………………………………………5分

（Ⅱ）設直線與軸的交點是，依題意，

即,

,

,

,

（Ⅲ）直線的方程是，…………………………………………………6分

圓D的圓心是，半徑是，……………………………………………8分

設MN與PD相交于，則是MN的中點，且PM⊥MD，

……10分

當且僅當最小時，有最小值，

最小值即是點到直線的距離是，…………………12分

所以的最小值是。  ……………………………15分

19．解：（Ⅰ）點的坐標依次為，，…，

，…，           ……………………………2分

則，…，

若共線；則，

即，

即， ……………………………4分

，

，

所以數列是等比數列。          ……………………………………………6分

（Ⅱ）依題意，

，

兩式作差，則有：，   ………………………8分

又，故，   ……………………………………………10分

即數列是公差為的等差數列；此數列的前三項依次為

，

由，可得，

故，或，或。           ………………………………………12分

數列的通項公式是，或，或。    ………14分

由知，時，不合題意；

時，不合題意；

時，；

所以，數列的通項公式是。  ……………………………………16分

20．解：（Ⅰ）函數定義域，

，    ……………………………………………4分

（Ⅱ），由（Ⅰ）

，，

，單調遞增，

所以。

設，

則，

即，也就是。

所以，存在值使得對一個，方程都有唯一解。………10分

（Ⅲ），

，

以下證明，對的數及數，不等式不成立。

反之，由，亦即成立，

因為，，

但，這是不可能的。這說明是滿足條件的最小正數。

這樣不等式恒成立，

即恒成立，

∴  ，最小正數=4 。……………………16分

 第二部分（加試部分）

21．（A）解：AD²=AE?AB，AB=4，EB=3      ……………………………………4分

△ADE∽△ACO，                ……………………………………………8分

CD=3                         ……………………………………………10分

（B）解：（Ⅰ），

所以點在作用下的點的坐標是。…………………………5分

（Ⅱ），

設是變換后圖像上任一點，與之對應的變換前的點是，

則，

也就是，即，

所以，所求曲線的方程是。……………………………………………10分

（C）解：由已知圓的半徑為，………4分

又圓的圓心坐標為，所以圓過極點，

所以，圓的極坐標方程是。……………………………………………10分

（D）證明：

＜            ……………………………………6分

=2－

＜2                              ……………………………………10分

22．解：（Ⅰ）∵，∴，

∴切線l的方程為，即．……………………………………………4分

（Ⅱ）令＝0，則．令＝0，則x＝1．

 ∴A＝＝＝．………………10分

23．解：（Ⅰ）記“該生在前兩次測試中至少有一次通過”的事件為事件A，則

P(A)=

答：該生在前兩次測試中至少有一次通過的概率為。 …………………………4分

（Ⅱ）參加測試次數的可能取值為2，3，4，

      ，

    ，

      ，    ……………………………………………7分

        故的分布列為：

2

3

4

     ……………………………………………10分