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A（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，AB是⊙O的直徑，C，F是⊙O上的兩點，OC⊥AB，過點F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點D，連接CF交AB于點E．
求證：DE²=DB•DA．
B（選修4-2：矩陣與變換）
求矩陣

2 1 1 2

的特征值及對應的特征向量．
C（選修4-4：坐標系與參數方程）
已知曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ，直線l的參數方程是

x=- 3 5 t+2 y= 4 5 t

（t為參數）．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與x軸的交點是M，N是曲線C上一動點，求MN的最大值．
D（選修4-5：不等式選講）
已知m＞0，a，b∈R，求證：(

a+mb

1+m

)2≤

a2+mb2

1+m

．

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一、選擇題: CCBCD   DCDBB   C A

二、填空題:   13. 45      14.   30      15.       16.

三、解答題:17.解: （1） ………1分

       ，化簡得     …3分

       （2）)

 令Z），函數f(α)的對稱軸方程為Z).……12分

18.解：（1）油罐沒被引爆分兩種情形：

       ①5發子彈只有1發擊中，其概率為：

    ②5發子彈全沒有擊中，其概率為

    （2）的可能取值為2，3，4，5.

       ∴的分布列為：      

2

3

4

5

P

    的數學期望為：E=2×+3×+4×+5×=.……………………12分

19. （1）證明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB.……(3分)     又BC平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB.……5分

       （2）解：過A作AF∥BC，交CD于F，以A為原點，AF，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.

設PA=AB=BC=a,則A(0,0,0), B(0,a,0)，C(a,a,0), P(0,0,a), E(0,

              .……………………………………8分

設n₁=(x,y,1)為平面AEC的一個法向量， 則n₁⊥，n₁⊥,

∴解得x=, y=-,∴n₁=(,-,1).

設n₂=(x′,y′,1)為平面PBC的一個法向量，同理可得n₂=(0,1,1).…………11分

cos<n₁,n₂>==∴平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值為.…12分

20. 解：（1）由a_n+1=2a_n+n+1可得a_n+1+(n+1)+2=2(a_n+n+2),

       所以數列{a_n+n+2}是一個公比為2的等比數列，其首項為a₁+1+2=-1+1+2=2,

       于是a_n+n+2=2?2^n-1=2ⁿ.…………(10分)   故a_n=2ⁿ-n-2.

       {a_n}的前n項和S_n=……6分

       （2）證明：假設{a_n}是等比數列，設其首項為a₁,

則a₂=2a₁+2, a₃=2a₂+3=4a₁+7,………(8分)于是有(2a₁+2)²=a₁(4a₁+7)，解得：a₁=-4,于是公比,這時a₄=a₁q³=(-4)×()³=-.…………………10分

              但是由題中所給遞推公式，a₄=2a₃+4=8a₁+18=-14，二者矛盾，所以{a_n}不可能是等比數列.……………………12分

21.解：（1）設橢圓C的方程為半焦距為c，依題意有

|PF|=|F₁F₂|=2c

       ∴ 解得，∴b=1. ∴所求橢圓方程為…4分

       （2）由得.

       設點A、B的坐標分別為A(x₁, y₁)、B(x₂,y₂),……………………6分

       .

①當m=0時，點A、B關于原點對稱，則λ=0.②當m≠0時，點A、B不關于原點對稱，則λ≠0.

       ∵點Q在橢圓上，∴有……………8分

       化簡得4m²(1+2k²)= ∵

∵直線與橢圓交于不同的兩點，△=16k²m²-4(1+2k²)(2m²-2)=8(2k²+1-m²)  ∴ (1+2k²-m²)>0,

1+2k²>m².(**)…(10分)由（*）（**）可得4m²>.∵m≠0, ∴

       綜上，實數的取值范圍是(-2,2).………………………………………12分

22.解：（1）函數f(x)的定義域為：（-∞, -1）∪(-1, +∞),……………………1分

∵…………………………………2分

令令得x<-2或-1<x<0.

則函數f(x)的遞增區間是(-2,-1), (0, +∞),遞減區間是（-∞, -2）, (-1, 0).………4分

（2）由（1）知，f(x)在[上遞減，在[0，e-1]上遞增，又

 ，故m> e²-2時，不等式恒成立.……8分

（3）依題意，原命題等價于方程x-a+1-ln(1+x)²=0在x∈[0, 2]上有兩個相異的實根，……9分

記h(x)=x-a+1-ln(1+x)², 則h′(x)=1-令h′(x)>0，得x<-1或x>1，令h′(x)<0，得-1<x<1.

∴h(x)在[0, 1)上遞減，在(1,2]上遞增.………………10分

為使h(x)在[0,2]上恰好有兩個相異的實根，只須h(x)=0在[0,1)和(1,2]上各有一個實根，于是有即a的取值范圍是(2-ln2, 3-ln3].…………14分