設(shè)
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使得關(guān)于x的不等式ln（1+x）＜ax在（0，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，試說明理由；
（Ⅲ）求證：（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=ae^x，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a為常數(shù)，e為自然對數(shù)底），函數(shù)y =f(x)在A(0，a)處的切線與y =g(x)在B(0，lna)處的切線互相垂直.

  (Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

  (Ⅱ) 求證：對任意n ÎN^*，    f(n)+g(n)>2n；

  (Ⅲ) 設(shè)y =g(x-1)的圖象為C₁，h(x)=-x²+bx的圖象為C₂，若C₁與C₂相交于P、Q，過PQ中點垂直于x軸的直線分別交C₁、C₂于M、N，問是否存在實數(shù)b，使得C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？說明你的理由.

（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=ae^x，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a為常數(shù)，e為自然對數(shù)底），函數(shù)y =f(x)在A(0，a)處的切線與y =g(x)在B(0，lna)處的切線互相垂直.

  (Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

  (Ⅱ) 求證：對任意n ÎN^*，    f(n)+g(n)>2n；

  (Ⅲ) 設(shè)y =g(x-1)的圖象為C₁，h(x)=-x²+bx的圖象為C₂，若C₁與C₂相交于P、Q，過PQ中點垂直于x軸的直線分別交C₁、C₂于M、N，問是否存在實數(shù)b，使得C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？說明你的理由.

（本題滿分20分，其中第1小題4分，第2小題6分，第3小題10分）

已知是直線上的個不同的點（，、均為非零常數(shù)），其中數(shù)列為等差數(shù)列.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）若點是直線上一點，且，求證: ；

（3） 設(shè)，且當(dāng)時，恒有（和都是不大于的正整數(shù), 且）.試探索：在直線上是否存在這樣的點，使得成立？請說明你的理由.