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(本小題滿分12分)

如圖，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB，點E、M分別為A₁B、C₁C的中點，過點A₁，B，M三點的平面A₁BMN交C₁D₁于點N.

（Ⅰ）求證：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；

（Ⅱ）求二面角B—A₁N—B₁的正切值.

（本小題滿分12分）

正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，E，F分別是D₁B，AD的中點，

（1）建立適當的坐標系，求出E點的坐標；

（2）證明：EF是異面直線D₁B與AD的公垂線；

（3）求二面角D₁—BF—C的余弦值.

（本小題滿分12分）如圖，已知四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱AA₁=2。

   （I）求證：C₁D//平面ABB₁A₁；

   （II）求直線BD₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值；

   （Ⅲ）求二面角D—A₁C₁—A的余弦值。

（本小題滿分12分）

如圖，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，E為棱AA₁上一點，且平面BDE。

   （I）求直線BD₁與平面BDE所成角的正弦值；

   （II）求二面角C—BE—D的余弦值。