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（本小題滿分12分）請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=xcm.

（1）若廣告商要求包裝盒側面積S（cm²）最大，試問x應取何值？

（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm³）最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.

（本小題滿分12分）如圖，已知四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱AA₁=2。

   （I）求證：C₁D//平面ABB₁A₁；

   （II）求直線BD₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值；

   （Ⅲ）求二面角D—A₁C₁—A的余弦值。

（本小題滿分12分）

如圖，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，E為棱AA₁上一點，且平面BDE。

   （I）求直線BD₁與平面BDE所成角的正弦值；

   （II）求二面角C—BE—D的余弦值。

（本小題滿分12分）

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，點E在CC₁上，且平面BED

（Ⅰ）證明； C₁E=3EC

（本小題滿分12分）

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，點E在CC₁上，且平面BED

（Ⅰ）證明； C₁E=3EC