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（2012•上海模擬）設C₁是以F為焦點的拋物線y²=2px（p＞0），C₂是以直線2x-

3

y=0與2x+

3

y=0為漸近線，以(0，  

7

)為一個焦點的雙曲線．
（1）求雙曲線C₂的標準方程；
（2）若C₁與C₂在第一象限內有兩個公共點A和B，求p的取值范圍，并求

FA

•

FB

的最大值；
（3）是否存在正數p，使得此時△FAB的重心G恰好在雙曲線C₂的漸近線上？如果存在，求出p的值；如果不存在，說明理由．