設函數f（x）=

2x

2x+ 2

的圖象上兩點P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），若

OP

=

1

2

（

OP1

+

OP2

），且點P的橫坐標為

1

2

．
（1）求證：P點的縱坐標為定值，并求出這個定值；
（2）求Sn=f（

1

n

）+f（

2

n

）+A+f（

n-1

n

）+f（

n

n

）
（3）記T_n為數列{

1

(Sn+ 2 )(Sn+1+ 2 )

}的前n項和，若T_n＜a（S_n+1+

2

）對一切n∈N^*都成立，試求a的取值范圍．

設函數f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）當a=0時，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）當m=2時，若函數k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點，求實數 a的取值范圍；
（3）當m=2時，如果函數g（x）=-f（x）-ax的圖象與x軸交于兩點A（x₁，0）、B（x₂，0）且0＜x₁＜x₂．求證：g′（px₁+qx₂）＜0（其中正常數p，q滿足p+q=1，且q≥p）．

設函數f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）當a=0時，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）當m=2時，若函數k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點，求實數 a的取值范圍；
（3）當m=2時，如果函數g（x）=-f（x）-ax的圖象與x軸交于兩點A（x₁，0）、B（x₂，0）且0＜x₁＜x₂．求證：g′（px₁+qx₂）＜0（其中正常數p，q滿足p+q=1，且q≥p）．