應用問題 例10．用總長14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架.如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m.那么高為多少時容器的容積最大?并求出它的最大容積. 解:設容器底面短邊為xm.則另一邊長為m, 高為. 由3.2-2x>0且x>0.得0<x<1.6. 設容器的容積為ym3.則有y=x=-2x3+2.2x2+1.6x, ∴ y'=-6x2+4.4x+1.6=0, 即15x2-11x-4=0.解得. 當x∈(0,1)時.y'>0,當x∈時.y'<0. ∴ 函數y=-2x3+2.2x2+1.6x在(0,1)上單調遞增.在[1.1.6]上單調遞減. 因此.當x=1時.ymax=-2+2.2+1.6=1.8.這時.高為3.2-2×1=1.2. 故容器的高為1.2m時容器最大.最大容積為1.8m3. 例11．一艘漁艇停泊在距岸9km處.今需派人送信給距漁艇km處的海岸漁站.如果送信人步行每小時5km.船速每小時4km.問應在何處登岸再步行可以使抵達漁站的時間最省? 解析:如圖示設A點為漁艇處.BC為海岸線.C為漁站.且AB=9km, 設D為海岸線上一點.CD=x.只需將時間T表示為x的函數. ∵ . 由A到C的時間T.則 令T'=0.解得x=3.在x=3附近.T'由負到正. 因此在x=3處取得最小值.又.比較可知T(3)最小. 訓練題: 1．函數y=4x2(x-2), x∈[-2.2]的最小值是 . 2．一個外直徑為10cm的球.球殼厚度為.則球殼體積的近似值為 . 3．函數f(x)=x4-5x2+4的極大值是 .極小值是 . 4．做一個容積為256升的方底無蓋水箱.問高為多少時最省材料? 參考答案: 1. –64 2. 19.63cm3 3. 4, 4. 設高為h.底邊長為a.則所用材料為S=a2+4ah,而a2h=256.a∈, ∴ , a∈=, ∴ a=8. 顯然當0<a<8時.S'(a)<0.當a>8時.S'(a)>0.因此當a=8時.S最小.此時h=4. 【
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