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已知函數f（x）=ax²+lnx（a∈R）．
（1）當a=

1

2

時，求f（x）在區間[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函數g（x），f1（x），f2（x），在公共定義域D上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就稱為g（x）為f₁（x），f₂（x）的“活動函數”．
已知函數f1(x)=(a-

1

2

)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=

1

2

x2+2ax．
①若在區間（1，+∞）上，函數f（x）是f1（x），f2（x）的“活動函數”，求a的取值范圍；
②當a=

2

3

時，求證：在區間（1，+∞）上，函數f1（x），f2（x）的“活動函數”有無窮多個．