函數單調區間的合并主要依據是函數在單調遞增.在單調遞增.又知函數在處連續.因此在單調遞增.同理減區間的合并也是如此.即相鄰區間的單調性相同.且在公共點處函數連續.則二區間就可以合并為一個區間. [例]用導數求函數()的單調區間. 解:(用第一種關系及單調區間的合并).當.即或時.∴在.上為增函數.又∵在處連續.且相鄰區間的單調性又相同.∴在上為增函數. 舊教材很少提到函數單調區間的合并.原因在于教師很難講.學生很難把握.但是新教材引進函數的連續性和導數之后就很容易說明.也很容易理解了. 綜之.用導數證明劃分函數的單調性是導數最常用.也是最基本的應用.其它重要性如極值.最值等都必須用到單調性.它比用單調性的定義證明要簡單許多.劃分也容易理解得多.討論可導函數得單調性可按如下步驟進行: (1) 確定的定義域,(2)求.令.解方程求分界點, (3)用分屆點將定義域分成若干個開區間, (4)判斷在每個開區間內的符號.即可確定的單調性. 以下是前幾年高考用導數證明.求單調性的題目.舉例說明如下: 例1設.是上的偶函數. (I)求的值,(II)證明在上是增函數. 解:(I)依題意.對一切有.即. ∴對一切成立.由此得到..又∵.∴. (II)證明:由.得. 當時.有.此時.∴在上是增函數. 例2設函數.其中. (I)解不等式,(II)證明:當時.函數在區間上是單調函數. 解1:(I)分類討論解無理不等式. 解2:(i)當時.有.此時.函數在區間上是單調遞減函數.但.因此.當且僅當時.. (ii)當時.解不等式.得.在區間上是單調遞減函數.解方程.得或. ∵. ∴當且僅當時.. 綜上.(I)當時.所給不等式的解集為:, 當時.所給不等式的解集為:. (II)當且僅當時.函數在區間上時單調函數. 例3設.求函數的單調區間. 解:() 當.時. .. (i)當時.對所有.恒有.即.此時在單調遞增, (ii)當時.對.恒有.即.此時在單調遞增.在單調遞增. 又知函數在處連續.因此在單調遞增, (iii)當時.令.即. 解得或.因此.函數在單調遞增.在單調遞增.令.即. 解得. 因此.函數在上單調遞減. 本題用傳統作差比較法無法求函數的單調區間.只有用導數才行. 【
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