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已知定義在R上的二次函數R（x）=ax²+bx+c滿足2^R（-x）-2^R（x）=0，且R（x）的最小值為0，函數h（x）=lnx，又函數f（x）=h（x）-R（x）．
（I）求f（x）的單調區間；  
（II）當a≤

1

2

時，若x₀∈[1，3]，求f（x₀）的最小值；
（III）若二次函數R（x）圖象過（4，2）點，對于給定的函數f（x）圖象上的點A（x₁，y₁），當x1=

3

2

時，探求函數f（x）圖象上是否存在點B（x₂，y₂）（x₂＞2），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．（參考數據：e=2.71828…）

已知函數f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）若函數f（x）在x=1時取得極大值

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2

，求實數a，b的值；
（2）在（1）條件下，求函數的最大值和單調遞增區間；
（3）若函數f（x）圖象上任意不同的兩點連線斜率小于1，求實數a的取值范圍．

已知函數f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）  若函數y=f（x）的圖象在點（1，2）處的切線的斜率等于1，求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，則函數y=f（x）的圖象上的任意一點的切線的斜率為k，試討論|k|≤1成立的充要條件．
（Ⅲ）若函數y=f（x）的圖象上任意不同的兩點的連線的斜率小于1，求證：-

3

＜a＜

3

．

已知定義在R上的二次函數R（x）=ax²+bx（a＞0）是偶函數，函數f（x）=2lnx-R（x）．
（I）求f（x）的單調區間；  
（II）當a≤1時，若x₀∈[1，2]，求f（x₀）的最大值；
（III）若二次函數R（x）圖象過（1，1）點，對于給定的函數f（x）圖象上的點A（x₁，y₁），當x₁=

1

e

時，探求函數f（x）圖象上是否存在點B（x₂，y₂）（x₂＞1），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．（參考數據：e=2.71828…）