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設函數f(x)=

1，x為有理數 0，x為無理數

，若xf（x）≤g（x）對于一切x∈R都成立，則函數g（x）可以是（　　）

（2013•濰坊一模）設函數f(x)=

1

3

mx3+(4+m)x2，g(x)=alnx，其中a≠0．
（ I ）若函數y=g（x）圖象恒過定點P，且點P在y=f（x）的圖象上，求m的值；
（Ⅱ）當a=8時，設F（x）=f′（x）+g（x），討論F（x）的單調性；
（Ⅲ）在（I）的條件下，設G(x)=

f(x)，x≤1 g(x)，x＞1

，曲線y=G（x）上是否存在兩點P、Q，使△OPQ（O為原點）是以O為直角頂點的直角三角形，且該三角形斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

已知f₁（x）=x（x≠0），若對任意的n∈N^*，f_w（1）=1，且f_max（x）=f_v（x）+xf_n^e（x）．
（1）求f_n（x）的解析式；
（2）設F_n（x）=

fn(x)

(fn(x)+1)2

，求證：F₁（2）+F₂（2）+…F_n（2）＜1；
（3）若g_e（x）=C₆₀²⁰+2C₆₀¹f₁（x）+3C₆₀²f₂（x）+…+（n+1）C_n^xf_n（x），是否存在實數x，使得g₁（x）+g₂（x）+…g_n（x）=（n+1）（1+x）^a，說明理由．

設函數f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x），（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）設函數F（x）=f（x）-g（x），判斷函數F（x）的奇偶性并證明；
（Ⅱ）若關于x的方程g（m+2x-x²）=f（x）有實數根，求實數m的范圍；
（Ⅲ）當a＞1時，不等式f（n-x）＞

1

2

g（x）對任意x∈[0，1]恒成立，求實數n的范圍．

已知函數f(x)=

a

x

+x+(a-1)lnx+15a，F（x）=2x³-3（2a+3）x²+12（a+1）x+12a+2，其中a＜0且a≠-1．
（Ⅰ） 當a=-2，求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ） 若x=-1時，函數F（x）有極值，求函數F（x）圖象的對稱中心的坐標；
（Ⅲ）設函數g（x）=

F(x)，x≤1 f(x)，x＞1

（e是自然對數的底數），是否存在a使g（x）在[a，-a]上為減函數，若存在，求實數a的范圍；若不存在，請說明理由．