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如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AB，D，D₁，G分別為AB，A₁B₁，A₁C₁的中點，E、F在BB₁上，且BB₁=4BE=4B₁F．
（1）求證：DG∥平面BCC₁B₁；
（2）求證：平面DEG⊥平面C₁D₁F．

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1．若二面角C-AB-C₁的大小為60°，則點C₁到直線AB的距離為．

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AA₁=

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，點D是BC的中點，點E在AC上，且DE⊥A₁E．
（1）證明：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）求直線AD和平面A₁DE所成角的正弦值．

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=

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AA1，D是A₁B₁的中點，點E在A₁C₁上，且DE⊥AE．
（1）證明：平面ADE⊥平面ACC₁A₁
（2）求直線AD和平面ABC₁所成角的正弦值．

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=6，M為AA₁上的點，且AM=2MA₁，P是BC上一點，且由P沿棱柱側面經過棱CC₁到M點的最短路線長為4

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，設這條最短路線與C₁C的交點為N．求：
（1）該三棱柱的側面展開圖的對角線長；
（2） PC和NC的長；
（3）此棱柱的表面積；
（4）平面NMP和平面ABC所成二面角（銳角）的大小（用反正切函數表示）．