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（本小題滿分14分）已知函數f（x）＝alnx＋x²（a為實常數）．

（Ⅰ）若a＝－2，求證：函數f（x）在（1，＋∞）上是增函數；

（Ⅱ）求函數f（x）在[1，e]上的最小值及相應的x值；

（本小題滿分14分）已知函數f(x)=ae^x，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a為常數，e為自然對數底），函數y =f(x)在A(0，a)處的切線與y =g(x)在B(0，lna)處的切線互相垂直.

  (Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

  (Ⅱ) 求證：對任意n ÎN^*，    f(n)+g(n)>2n；

  (Ⅲ) 設y =g(x-1)的圖象為C₁，h(x)=-x²+bx的圖象為C₂，若C₁與C₂相交于P、Q，過PQ中點垂直于x軸的直線分別交C₁、C₂于M、N，問是否存在實數b，使得C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？說明你的理由.

（本小題滿分14分）已知函數f(x)=ae^x，g(x)= lna-ln(x +1)（其中a為常數，e為自然對數底），函數y =f(x)在A(0，a)處的切線與y =g(x)在B(0，lna)處的切線互相垂直.

  (Ⅰ) 求f(x) ，g(x)的解析式；

  (Ⅱ) 求證：對任意n ÎN^*，    f(n)+g(n)>2n；

  (Ⅲ) 設y =g(x-1)的圖象為C₁，h(x)=-x²+bx的圖象為C₂，若C₁與C₂相交于P、Q，過PQ中點垂直于x軸的直線分別交C₁、C₂于M、N，問是否存在實數b，使得C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？說明你的理由.

（本小題滿分14分）已知定義在實數集上的函數f_n(x)=xⁿ，n∈N^*，其導函數記為，且滿足，a，x₁，x₂為常數,x₁≠x₂．
(1)試求a的值；
(2)記函數，x∈（0，e]，若F(x)的最小值為6，求實數b的值；
(3)對于(2)中的b，設函數，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁<x₂)是函數g(x)圖象上兩點，若，試判斷x₀，x₁，x₂的大小，并加以證明．