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(本小題滿分13分)

如圖是在豎直平面內的一個“通道游戲”．圖中豎直線段和斜線段都表示通道，并且在交點處相遇，若豎直線段有第一條的為第一層，有二條的為第二層，……，依次類推．現有一顆小彈子從第一層的通道里向下運動．記小彈子落入第層第個豎直通道（從左至右）的概率為．（已知在通道的分叉處，小彈子以相同的概率落入每個通道）

（Ⅰ）求的值，并猜想的表達式．（不必證明）

（Ⅱ）設小彈子落入第6層第個豎直通道得到分數為，

其中，試求的分布列及數學期望．

(本小題滿分13分)

已知數列滿足，且對任意，都有．

(Ⅰ）求證：數列為等差數列；

(Ⅱ）試問數列中是否仍是中的項？如果是，請指出是數列的第幾項；如果不是，請說明理由．

（Ⅲ）令   證明：對任意.

(本小題滿分13分)

已知數列滿足，且對任意，都有．

(Ⅰ）求證：數列為等差數列；

(Ⅱ）試問數列中是否仍是中的項？如果是，請指出是數列的第幾項；如果不是，請說明理由．

（Ⅲ）令   證明：對任意.

（本小題滿分13分）
設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程有實數根；②函數的導數滿足”.
(1)判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；
(2)若集合M中的元素具有下面的性質：“若的定義域為D，則對于任意，都存在，使得等式成立”，試用這一性質證明：方程只有一個實數根；
(3)設是方程的實數根，求證：對于定義域中的任意的，當且時，．