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練習冊

練習冊
試題

山東省棗莊市

2009 年高三模擬考試

數學試題（理）

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。

第Ⅰ卷（選擇題，共40分）

注意事項：

1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目、試卷類型用2B鉛筆涂

寫在答題卡上。

2．第Ⅰ卷的每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試題卷上。

3．第Ⅱ卷的非選擇題部分必須用0.5毫米的黑色簽字筆作答，答案必須卸載答題紙各題

目制定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再附上新的答案；

不準使用涂改液。

一、選擇題本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一

1．設全集R，若集合，則為（）

A． B．

C． D．

2．已知是虛數單位，和都是實數，且，則等于（）

A． B． C．1 D．-1

3．如圖，已知正方形的面積為10，向正方形

內隨機地撒200顆黃豆，數得落在陰影外

的黃豆數為114顆，以此實驗數據為依據，

可以估計出陰影部分的面積約為（）

A．5.3 B．4.3

C．4.7 D．5.7

4．已知，則有（）

A． B．

C． D．

5．下列命題中，所有正確命題的個數為（）

① 命題“若，則且”的逆命題是真命題；

② 個位數字為零的整數能被5整除，則個位數字不是零的整數不能被5整除；

③ 若隨機變量，且，則

A．0 B．1 C．2 D．3

6．點在函數的圖象上，點與點關于軸對稱且在直線

上，則函數在區間上（）

A．既沒有最大值也沒有最小值 B．最小值為-3，無最大值

C．最小值為-3，最大值為9 D．最小值為，無最大值

7．一個幾何體的三視圖如圖所示，

則這個幾何體的體積等于（）

A． B．

C． D．

8．我省高中學校自實施素質教育以來，學生社團得到迅猛發展。某校高一新生中的五名同

學打算參加“春暉文學社”、“舞者輪滑俱樂部”、“籃球之家”、“圍棋苑”四個社團。若

每個社團至少有一名同學參加，每名同學至少參加一個社團且只能參加一個社團，且同

學甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數為（）

A．72 B．108 C．180 D．216

9．已知函數，給出下列四個說法：

①若，則； ②的最小正周期是2π；

③在區間上是增函數； ④的圖象關于直線對稱。

其中正確說法的個數為（）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．在△中，=2，∠=120°，則以A，B為焦點且過點的雙曲線的離心率為（）

A． B． C． D．

11．過拋物線的焦點的直線與拋物線在第一象限的交點為A，與拋物線的準線的交點為，點在拋物線的準線上的射影為，若，則拋物線的方程為（）

A． B． C． D．

12．定義在R上的函數滿足，當時，，

則（）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題紙中指定的橫線上。

13．若直線與直線平行，則實數的值為。

14．某地為了了解地區10000戶家庭的用電情況，

采用分層抽樣的方法抽取了500戶家庭的月均

用電量，并根據這500戶家庭的月均用電量畫

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家庭中月均用電度數在[70，80]的家庭大約有戶。

15．數列的前10項由如圖所示的流程圖依次

輸出的的值構成，則數列的一個通項公

式= 。

16．對于任意的實數和，不等式

恒成

立，則實數的取值范圍是。

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，鄭敏過程或演算步驟。

17．（本小題滿分12分）

在△，已知=5，點在線段上，且

=0，設∠，，求的值

18．（本小題滿分12分）

甲、乙兩位小學生各有2008年奧運吉祥物“福娃”5個（其中“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、

“迎迎”和“妮妮各一個”），現以投擲一個骰子的方式進行游戲，規則如下：當出現向上的點數是奇數時，甲贏得乙一個福娃；否則乙贏得甲一個福娃，規定擲骰子的次數達9次時，或在此前某人已贏得所有福娃時游戲終止。記游戲終止時投擲骰子的次數為

（1）求擲骰子的次數為7的概率；

（2）求的分布列及數學期望E。

19．（本小題滿分12分）

是首項的等比數列，其前項和為S_n，且成等比數列。

（1）求數列的通項公式；

（2）若，設為數列的前項和，

求證：

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20．（本小題滿分12分）

已知斜三棱柱ABC―A₁B₁C₁，側面與底面垂直，∠，，且⊥，AA₁=A₁C。

（1）試判斷A₁A與平面A₁BC是否垂直，并說明理由；

（2）求側面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值。

21．（本小題滿分12分）

已知函數，

（1）設兩曲線與有公共點，且在公共點處的切線相同，若，試建立關于的函數關系式，并求的最大值；

（2）若在（0，4）上為單調函數，求的取值范圍。

22．（本小題滿分12分）

已知、B、C是橢圓M：上的三點，其中點A的坐標為，BC過橢圓M的中心，且

（1）求橢圓M的方程；

（2）過點的直線（斜率存在時）與橢圓M交于兩點P、Q，設D為橢圓M與軸負半軸的交點，且求實數的取值范圍。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

CABD CDDC BABD

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。

13．3 14．1200 15． 16．

三、解答題：本大題共6小題，共74分。

17．解： 1分

∵，∴⊥，∴∠

在Rt△ADC中 4分

∴ 6分

∵ 7分

又∵ 9分

∴

12分

18．解：（1）當=7時，甲贏意味著“第七次甲贏，前6次贏5次，但根據規則，前5次中必輸1次”，由規則，每次甲贏或乙贏的概率均為，因此

= 4分

（2）設游戲終止時骰子向上的點數是奇數出現的次數為，向上的點數是偶數出現的次數為n，則由，可得：當

或，時，當，或因此的可能取值是5、7、9 6分

每次投擲甲贏得乙一個福娃與乙贏得甲一個福娃的可能性相同，其概率都是

10分

所以的分布列是：

5

7

9

12分

19．解：設數列的公比為

（1）若，則

顯然不成等差數列，與題設條件矛盾，所以≠1 1分

由成等差數列，得

化簡得 4分

∴ 5分

（2）解法1： 6分

當≥2時，

10分

=1+ 12分

解法2： 6分

當≥2時，設這里，為待定常數。

則

當n≥2時，易知數列為單調遞增數列，所以

可見，n≥2時，

于是，n≥2時，有 10分

=1+ 12分

20．解法一：如圖建立空間直角坐標系，

（1）有條件知 1分

由面⊥面ABC，AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，知 2分

∵ ……………3分

∴與不垂直，即AA₁與BC不垂直，

∴AA₁與平面A₁BC不垂直……5分

（2）由ACC₁A₁為平行四邊形，

知==…7分

設平面BB₁C₁C的法向量，

由

令，則 9分

另外，平面ABC的法向量（0，0，1） 10分

所以側面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值為 12分

解法二：（1）取AC中點D，連結A₁D，則A₁D⊥AC。

又∵側面ACC₁A₁與底面ABC垂直，交線為AC，

∵A₁D⊥面ABC ………2分

∴A₁D⊥BC。

假設AA₁與平面A₁BC垂直，則A₁D⊥BC。

又A₁D⊥BC，由線面垂直的判定定理，

BC⊥面A₁AC，所以BC⊥AC，這樣在△ABC中

有兩個直角，與三角形內角和定理矛盾。假設不

成立，所以AA₁不與平面A₁BC垂直………5分

（2）側面BB₁C₁C與底面ABC所成的銳二面角即為側面BB₁C₁C與A₁B₁C₁底面所成的銳二面角。

過點C作A₁C₁的垂線CE于E，則CE⊥面A₁B₁C₁，B₁C₁⊥CE。

過點E作B₁C₁的垂線EF于F，連結CF。

因為B₁C₁⊥EF，B₁C₁⊥CE，所以B₁C₁⊥面EFC，B₁C₁⊥CF

所以∠CFE即為所求側面BB₁C₁C與地面A₁B₁C₁所成的銳二面角的平面角 9分

由得

在Rt△ABC中，cos∠

所以，側面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值為 12分

21．（1）設與在公共點處的切線相同。

。由題意知

即 2分

解得或（舍去，） 4分

可見 7分

（2）

要使在（0，4）上單調，

須在（0，4）上恒成立 8分

在（0，4）上恒成立在（0，4）上恒成立。

而且可為足夠小的正數，必有 9分

在（0，4）上恒成立

或 11分

綜上，所求的取值范圍為，或，或 12分

22．（1）∵點A的坐標為（）

∴，橢圓方程為 ①…1分

又∵，且BC過橢圓M的中心

（0，0），∴ ……2分

又∵∴△AOC是以∠C為直角的等腰三角形，

易得C點坐標為（，） ……3分

將（，）代入①式得

∴橢圓M的方程為 ……4分

（2）當直線的斜率，直線的方程為

則滿足題意的t的取值范圍為……5分

當直線的斜率≠0時，設直線的方程為

由得 6分

∵直線與橢圓M交于兩點P、Q，

∴△=

即 ② 8分

設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中點，則

的橫坐標，縱坐標，

D點的坐標為（0，-2）

由，得⊥，，

即即。 ③ 11分

∴∴。 ④

由②③得，結合④得到 13分

綜上所述， 14分

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