江蘇省江寧高級中學2009屆高三迎一模聯考
數學試題
一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應位置）
1．命題“
”的否定是 ★ ．
2．已知復數
，
（
是虛數單位），若
為純虛數，則實數
＝__★_
3．直線x＋ay＋3＝0與直線ax＋4y＋6＝0平行的充要條件是__★
4. 執行右邊的程序框圖，若
，則輸出的
★ ．
5．已知點A、B、C滿足
，
，
，則
的值是_____★________.
6．若直線
過點
，則以坐標原點
為圓心，
長為半徑的圓的面積的最小值是 ★
．
7．已知拋物線
的準線與雙曲線
的左準線重合，則拋物線的焦點坐標為 ★ .
8．分別在區間[1,6]和[2,4]內任取一實數，依次記為m和n，則
的概率為 ★
9．設等差數列
的公差為
，若
的方差為1，則=__★_
10．已知函數
在定義域內是增函數，則實數
的取值范圍為_★_
11．已知
、
是橢圓
+
=1的左右焦點，弦
過F1，若
的周長為
，則橢圓的離心率為 ★ ．
12．實數
滿足
，且
，則
★
13．已知一個正三棱錐P－ABC的主視圖如圖所示，若AC＝BC＝
，PC＝
，則此正三棱錐的全面積為_____★____
14．已知命題：“在等差數列中，若
，則
為定值”為真命題，由于印刷問題，括號處的數模糊不清，可推得括號內的數為_★___
二、解答題：（本大題共6道題，計90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15．在△ABC中，
分別是角A，B，C的對邊，
，
．
（Ⅰ）求角
的值;
（Ⅱ）若
，求△ABC面積．
16．在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA＝2AB＝2．
（Ⅰ）求四棱錐P－ABCD的體積V；
（Ⅱ）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求證CE∥平面PAB．
17．已知數列
的前n項和為
，且
．
（Ⅰ）求數列通項公式；
（Ⅱ）若
，
，求證數列
是等比數列，并求數列
的前
項和
．
18．經市場調查，某超市的一種小商品在過去的近20天內的銷售量（件）與價格（元）均為時間t（天）的函數，且銷售量近似滿足g(t)＝80－2t（件），價格近似滿足
（元）．
（Ⅰ）試寫出該種商品的日銷售額y與時間t（0≤t≤20）的函數表達式；
（Ⅱ）求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．
19. 已知⊙過點
,且與⊙
:
關于直線
對稱.
（Ⅰ）求⊙的方程；
（Ⅱ）設
為⊙上的一個動點,求
的最小值；
（Ⅲ）過點
作兩條相異直線分別與⊙相交于
,且直線
和直線
的傾斜角互補, 為坐標原點,試判斷直線
和是否平行?請說明理由.
20．已知函數
圖象上一點P（2，f(2)）處的切線方程為
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若方程
在
內有兩個不等實根，求的取值范圍（其中
為自然
對數的底，
）；
（Ⅲ）令
，如果
圖象與
軸交于
，AB中點為
，求證：
．
江蘇省江寧高級中學2009屆高三迎一模聯考
數學試題（附加題）
21．選修4―2 矩陣與變換
已知矩陣
，求
特征值λ1，λ2及對應的特征向量α1，α2．
22．已知直線
和圓
，判斷直線和圓的位置關系．
23．如圖，四棱錐
中，底面ABCD是矩形，
⊥平面ABCD，且
，
，點E是AB上一點，AE等于何值時，二面角
的平面角為
．
24．已知方程
為常數。
（Ⅰ）若
，
，求方程的解的個數
的期望；
（Ⅱ）若
內等可能取值，求此方程有實根的概率．
江蘇省江寧高級中學2009屆高三迎一模聯考
1．
2．
3．a＝－2． 4. 
5．
6．
7．
8．
9．
10．
11．
12．0 13．
14．18
15．解：（Ⅰ）由
得
，
，
3分
，
5分
又
，∴ 
。
7分
（Ⅱ）由
可得，
，
9分
由
得，
,
12分
所以，△ABC面積是
14分
17．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，
∠BAC＝60°，∴BC＝
，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，
∴CD＝2，AD＝4．
∴SABCD＝
．……………… 3分
則V＝
． ……………… 5分
（Ⅱ）∵PA＝CA，F為PC的中點，
∴AF⊥PC． ……………… 7分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E為PD中點，F為PC中點，
∴EF∥CD．則EF⊥PC． ……… 9分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分
（Ⅲ）證法一：
取AD中點M，連EM，CM．則EM∥PA．
∵EM 
平面PAB，PA
平面PAB，
∴EM∥平面PAB． ……… 12分
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．
∵MC 平面PAB，AB平面PAB，
∴MC∥平面PAB． ……… 14分
∵EM∩MC＝M，
∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC平面EMC，
∴EC∥平面PAB． ……… 15分
證法二：
延長DC、AB，設它們交于點N，連PN．
∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，
∴C為ND的中點． ……12分
∵E為PD中點，∴EC∥PN．……14分
∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，
∴EC∥平面PAB． ……… 15分
17．解：（Ⅰ）n≥2時，
． ………………… 4分
n＝1時，
，適合上式，
∴
．
………………… 5分
（Ⅱ）
，
．
………………… 8分
即
．
∴數列
是首項為4、公比為2的等比數列． ………………… 10分
，∴
．……………… 12分
Tn＝
＝
．
………………… 14分
18．解：（Ⅰ）
…… 4分
＝
…………………… 8分
（Ⅱ）當0≤t＜10時，y的取值范圍是[1200，1225]，
在t＝5時，y取得最大值為1225； …………………… 11分
當10≤t≤20時，y的取值范圍是[600，1200]，
在t＝20時，y取得最小值為600． …………………… 14分
（答）總之，第5天，日銷售額y取得最大為1225元；
第20天，日銷售額y取得最小為600元． …………………… 15分
19. 解:(Ⅰ)設圓心
,則
,解得
…………………(3分)
則圓的方程為
,將點
的坐標代入得
,故圓的方程為
…………(5分)
(Ⅱ)設
,則,且
…………………(7分)
=
=
,所以
的最小值為
(可由線性規劃或三角代換求得)
…………(10分)
(Ⅲ)由題意知, 直線
和直線
的斜率存在,且互為相反數,故可設
,
,由
,得
……………………(11分)
因為點的橫坐標
一定是該方程的解,故可得
………………………
(13分)
同理,
,所以
=
所以,直線
和
一定平行…………………………………………………………………(15分)
20．解：（Ⅰ）
，
，
．
∴
，且
． …………………… 2分
解得a＝2，b＝1． …………………… 4分
（Ⅱ）
，令
，
則
，令
，得x＝1（x＝－1舍去）．
在
內，當x∈
時，
，∴h(x)是增函數；
當x∈
時，
，∴h(x)是減函數． …………………… 7分
則方程
在內有兩個不等實根的充要條件是
……10分
即
． …………………… 12分
（Ⅲ）
，
．
假設結論成立，則有
①－②，得
．
∴
．
由④得
，
∴
．即
．
即
．⑤
…………………… 14分
令
，
（0＜t＜1)，
則
＞0．∴
在0＜t＜1上增函數．
，∴⑤式不成立，與假設矛盾．
∴
．
……………………………16
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