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練習冊

練習冊
試題

福建省建甌一中2009屆高三第三次調研考試

數學試題（理科）

命題詹振照審題黃翠珍

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)，全卷滿分150分，考試時間120分鐘。

第Ⅰ卷(選擇題，共50分)

一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確的選項填寫到答題卷相應位置)

1．定義集合運算:，設,則集合的真子集個數為（）

A． B． C． D．

2．下列命題錯誤的是（）

A．命題“若，則“的逆否命題為”若“

B．若命題，則

C．若為假命題，則，均為假命題

D．的充分不必要條件

3．若復數是虛數單位），且是純虛數，則等于（）

A．40 B． C． D．

4. 已知某個幾何體的三視圖如下，根據圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（）

A． B．

C． D．

5。要得到函數的圖像，只需將函數的圖像        （）
A.向右平移個單位          B. 向右平移個單位
C. 向左平移個單位         D. 向左平移個單位

6．在正中，若點分別是的中點，則以為焦點，且過的雙曲線的離心率為（）

A． B． C． D．

7．已知直線交于A、B兩點，O是坐標原點，向量、滿

足，則實數的值（）

A．2 B．－2 C．或－ D．2或－2

8. 根據表格中的數據，可以斷定方程的一個根所在的區間是（）

…

…

…

(A) (B) (C) (D)

9.在數列中，如果存在非零常數T，使得對任意正整數m均成立，那么就稱為周期數列，其中T叫做數列的周期。已知數列滿足，且當數列周期為3時，則該數列的前2009項的和為 ( )

A . 1340 B . 1342 C . 1336 D . 1338

10。定義在上的函數滿足，當時，單調遞增，如果，且，則的值為（）
A．恒大于 B. 恒小于 C.可能為 D.可正可負

2,4,6

本卷包括必考題和選考題兩部分．第11題到第20題為必考題，每個試題考生都必須作答；第21題為選考題，請考生根據要求選答．

二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，把你的答案填在答題卷相應題號的橫線上）

11．如右圖所示，這是計算的值的一個程序框圖，其中判斷框內應填入的條件是．

12.設對任意實數都成立，則．

13．設是各項都是正數的等比數列的前項和，若，則公比的取值范圍是

14。在技術工程上，常用到雙曲線正弦函數和雙曲線余弦函數，而雙曲線正弦函數和雙曲線余弦函數與我們學過的正弦函數和余弦函數有關類似的性質，比如關于正、余弦函數有成立，而關于雙曲正、余弦函數滿足。請你運用類比的思想，寫出關于雙曲正弦、雙曲余弦很熟的一個新關系式

15．若不等式的解集是，則以下結論中：①；②；③；④；⑤，正確結論的序號是

三、解答題（本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

16．（本小題滿分13分）在分別為角A、B、C所對的邊，且

（I）求角A的大小；（II）若的周長為L，求L的最大值。

17。(本小題滿分13分) 如圖，三棱柱中，面，,，，為的中點。

(I)求證：面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值

18．（本小題滿分13分）大量統計數據表明，某班一周內（周六、周日休息）各天語文、數學、外語三科有作業的概率如下表：

周一

周二

周三

周四

周五

語文

數學

外語

根據上表：（I）求周五沒有語文、數學、外語三科作業的概率；

（II）設一周內有數學作業的天數為，求隨機變量的分布列和數學期望。

19.(本題滿分13分) 已知拋物線D的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合. (Ⅰ)求拋物線D的方程； (Ⅱ)已知動直線過點P(4,0),交拋物線D于A、B兩點，坐標原點O為線段PQ中點，求證：；（Ⅲ）是否存在垂直于軸的直線被以AP為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由.

20．(本小題滿分14分)若存在實常數和，使得函數和對其定義域上的任意實數分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，（其中為自然對數的底數）．

(Ⅰ)求的極值； (Ⅱ) 函數和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

21.本題有⑴、⑵、⑶三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．

（1）（本小題滿分7分）選修4－2：矩陣與變換

已知矩陣P=，Q=，若矩陣PQ對應的變換把直線變為直線，求、的值.

（2）已知曲線C的極坐標方程是．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是：（是參數）.

(Ⅰ)將曲線C的極坐標方程和直線參數方程轉化為直角坐標普通方程；

(Ⅱ)若直線l與曲線C相交于A、B兩點，且，試求實數值

(3) 設函數． (Ⅰ)作出函數的圖象；

(Ⅱ)若不等式的解集為，求值．

一、ACBCD DDCAB

二、11。_{12。12
13。}

14。

15。②③⑤

三、16解：（I）

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 6分

（II）

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. 9分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. 12分

當。。。。。。。。。。。。。。 13分

17解（1）連接B₁C，交BC₁于點O，則O為B₁C的中點，

∵D為AC中點 ∴OD∥B₁A。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分

又B₁A平面BDC₁，OD平面BDC₁

∴B₁A∥平面BDC₁ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（2）∵AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁

∴CC₁⊥面ABC 則BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC

如圖以C為坐標原點，CA所在直線為X軸，CB所在直線為Y軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系則C₁(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0) 。。。。。。。。。。。。。。。。。 8分

∴設平面的法向量為由得

，取，則。。。。。。。。。10分

又平面BDC的法向量為。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 11分

cos

∴二面角C₁―BD―C的余弦值為。。。。。。。。。13分

18解：（I）設周五有語文、數學、外語三科作業分別為事件A₁、A₂、A₃周五沒有語文、數學、外語三科作業為事件A，則由已知表格得

、、。。。。。。。。。。。。2分

。。。。。。。。。。4分

（II）設一周內有數學作業的天數為，則

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

所以隨機變量的概率分布列如下：

0

1

2

3

4

5

P

故。。。。。。。。。。13分

19解:(Ⅰ)由題意,可設拋物線方程為.

由,得.拋物線的焦點為,.

拋物線D的方程為. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

(Ⅱ)設A由于O為PQ之中點,故當軸時由拋物線的對稱性知。。。。。。。。。。。。。。。。。。

當不垂直軸時,設:,

由,

,,

…

(Ⅲ)設存在直線滿足題意,則圓心,過M作直線的垂線,

垂足為E, 設直線與圓交于點，可得,

即 =

=

==

當時,,此時直線被以AP為直徑的圓截得的弦長恒為定值.…12分

因此存在直線滿足題意. ……13分

20解：(Ⅰ) ，

．。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

當時，．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

當時，，此時函數遞減；

當時，，此時函數遞增；

∴當時，取極小值，其極小值為．。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函數和的圖像在處有公共點，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

設隔離直線的斜率為，則直線方程為，

即．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

由，可得當時恒成立．

，由，得．。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

下面證明當時恒成立．

令，則

，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

當時，．

當時，，此時函數遞增；

當時，，此時函數遞減；

∴ 當時，取極大值，也是最大值，其最大值為．

從而，即恒成立．。。。。。。。13分

∴ 函數和存在唯一的隔離直線．。。。。。。。。。。。。。。。14分

解法二：由(Ⅰ)可知當時， (當且當時取等號) ．。。。。。7分

若存在和的隔離直線，則存在實常數和，使得

和恒成立，

令，則且

，即．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

后面解題步驟同解法一．

21（！）解：PQ＝，

PQ矩陣表示的變換T：滿足條件

.　　所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）

直線任取點，則點在直線上，

故，又，得　所以　。。。。。（7分）

(2) （Ⅰ）曲線C的極坐標方程是化為直角坐標方程為:

直線的直角坐標方程為：。。。。。。。。。3分

（Ⅱ）（法一）由（1）知：圓心的坐標為（2，0），圓的半徑R=2，

圓心到直線l的距離

或。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

（法二）把（是參數）代入方程,

得,

.

或。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

(3) 解:（Ⅰ）

函數如圖所示。。。。。。。。。。。。。3分

（Ⅱ）由題設知：

如圖，在同一坐標系中作出函數的圖象

（如圖所示）又解集為.

由題設知，當或時，且即

由得：。。。。。。。。。。。。。。。。7分

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