北京市2009屆高三數學期末試題分類匯總――函數
1、（2009崇文區）函數
C
（A）
（B） 
（C） 
（D） 
2、（2009石景山區）函數
的反函數是（ ）C
A．
B．
C．
D．
3、（2009石景山區）設函數
，若
，
，則關于
的方程
的解的個數為（ ）C
A．1
B．2
C．3
D．4
4、（2009東城區）已已知函數f(x)=-
在區間
上的反函數是其本身，則可以是 （ ）B
A．[-2，-1] B
[-2，0] C．[0，2]
D．
5、（2009海淀區）已知定義域為R的函數
，那么
等于 （ ）D
A．1 B．
6、（2009西城區）已知函數
，那么函數
的反函數
的定義域為（ ）B
A.
B. 
C.
D. R
7、（2009崇文區）下列命題中：
①若函數
的定義域為R，則
一定是偶函數；
②若是定義域為R的奇函數,對于任意的
R都有
,則函數的圖象關于直線
對稱；
③已知
,
是函數定義域內的兩個值，且
，若
，則是減函數；
④若f (x)是定義在R上的奇函數，且f (x+2)也為奇函數，則f (x)是以4為周期的周期函數.
其中正確的命題序號是________．①④
8、（2009豐臺區）函數f ( x ) = 2?x ( 0＜x≤3 )的反函數的定義域為____________________
9、（2009昌平區）函數
的圖象過點（２，３），則
，
＝ ． 4,10
10、（2009宣武區）設函數
則
=_________
11、（2009崇文區）已知函數
，
是的一個極值點．
（Ⅰ）求的單調遞增區間；
（Ⅱ）若當
時，
恒成立，求
的取值范圍．
解：（Ⅰ）
.
--------------------------------------------------------------1分
∵是的一個極值點，
∴是方程
的一個根，解得
.
---------------------------3分
令
，則
，解得
或
.
------------------------5分
∴函數
的單調遞增區間為
，
.
-----------------------6分
（Ⅱ）∵當
時
，
時，
∴在（1，2）上單調遞減，在（2，3）上單調遞增.
--------8分
∴
是在區間[1，3]上的最小值，且 
.
--------------10分
若當時，要使恒成立，只需
， ----12分
即
，解得 
.
---------------------------------13分
12、（2009豐臺區）已知函數f ( x ) =
。
（Ⅰ）求函數f ( x
)在點
處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f ( x )的極大值和極小值。
解：（Ⅰ）由已知 得f′( x ) =
………………………………… 3分
又f′( ? 1 ) =
所求切線方程是 9x ? 4y
+ 27 = 0 ……………… 5分
（Ⅱ）因為 f′( x ) =
f′( x ) = 0 x1 = 0 , x2 = 2 ………6分
又函數f ( x )的定義域是x≠1的所有實數，則x變化時，f′( x )的變化情況如下表：
x
(－∞,0)
0
( 0 , 1 ) , (1 , 2 )
2
( 2 , +∞ )
f′( x )
+
0
?
0
+
………… 9分
所以當x = 0時，函數f ( x )取得極大值為6；當x = 2時，函數f ( x )取得極小值為18。
………… 13分
13．（2009豐臺區） 已知函數f ( x
) = 3x , f ( a
+ 2 ) = 18 , g ( x ) =
? 3ax ? 4x的義域為[0，1]。
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函數g ( x )在區間[0，1]上是單調遞減函數，求實數的取值范圍。
解法一：（Ⅰ）由已知得 a
（Ⅱ）此時 g ( x
) =? 2x ? 4x ……………………………… 6分
設0
x1＜x21，因為g ( x )在區間[0，1]上是單調減函數
所以 g ( x1
) = g ( x2 ) =
0成立 … 10分
即 
+
恒成立 由于+＞20 + 20 = 2
所以 實數的取值范圍是2 ……………………………… 13分
解法二：（Ⅰ）由已知得
（Ⅱ）此時 g ( x
) =? 2x ? 4x ……………………………… 6分
因為g ( x )在區間[0，1]上是單調減函數
所以有 g ( x
)′=ln2 ? 2x ? ln 4 ? 4x = ln 2[2 ? (2x)2
+ ? 2x ] 0成立…10分
設2x
= u∈[
1 , 2 ] ##
式成立等價于
? 2u2 +u0 恒成立。
因為u∈[ 1 , 2 ] 只須 2u 恒成立，………………………… 13分
所以實數的取值范圍是2
14、（2009石景山區）已知函數
的圖象過點
.
（Ⅰ）若函數在
處的切線斜率為
，求函數
的解析式；
（Ⅱ）若
，求函數的單調區間.
解：（Ⅰ）
．
………………………2分
由題意知
，得 
． …………………5分
∴ 
．
……………………6分
（Ⅱ）
．
∵ ，
∴ 
．
由
解得
或
，
由
解得
． ……………10分∴ 的單調增區間為：
和
；
的單調減區間為： 
．……12分
15、（2009西城區）已知f (x)、g(x)都是定義在R上的函數，如果存在實數m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x)，那么稱h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個函數.
設f (x)=x2+ax，g(x)=x+b(
R)，l(x)=
2x2+3x-1，h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個二次函數.
（Ⅰ）設
，若h (x)為偶函數，求
；
（Ⅱ）設
，若h (x)同時也是g(x)、l(x) 在R上生成的一個函數，求a+b的最小值；
（Ⅲ）試判斷h(x)能否為任意的一個二次函數，并證明你的結論.
（Ⅰ）解：設h(x) = m f(x)+ng(x)，則
,
因為
為一個二次函數，且為偶函數,
所以二次函數的對稱軸為y軸，即
，所以
，則
，
則
；
（Ⅱ）解：由題意, 設
(
R, 且
)
由h (x)同時也是g(x)、l(x) 在R上生成的一個函數,
知存在
使得
,
所以函數
,
則
,
消去, 得
,
因為, 所以
,
-----------7分
因為b>0,
所以
（當且僅當
時取等號）,
故a+b的最小值為
.
---------------9分
（Ⅲ）結論：函數h(x)不能為任意的一個二次函數.
以下給出證明過程.
證明：假設函數h(x)能為任意的一個二次函數,
那么存在m1, n1使得h(x)為二次函數y=x2,
記為
,
即
；1
同理，存在m2, n2使得h(x)為二次函數
,記為
,
即
2
由2-1，得函數
,
令
，化簡得
對
R恒成立,
即
對R恒成立,
所以
, 即
，
顯然，
與
矛盾,
所以，假設是錯誤的，
故函數h(x)不能為任意的一個二次函數. ---------------14分
注：第（Ⅲ）問還可以舉其他反例.
16、（2009宣武區）已知：函數f(x)=ax
+bx
－c (其中a,b,c都是常數，x
R). 當x=1時，函數f(x)的極植為－3－c.
（1）試確定a,b的值；
(2) 討論函數f(x)的單調區間；
（3）若對于任意x>0,不等式f(x)
－恒成立，求c的取值范圍。
解:（1）由
，得
，
當x=1時，的極值為
，
，得
，
……………………………………………………… 4分
（2）
，
，
令 
，則
，得x=0或x=1
當x變化時，
，的變化情況列表如下
x
0
1
+
0
-
0
+
遞增
極大值
-c
遞減
極小值
-3-c
遞增
函數的單調遞增區間是 和 ，單調遞減區間是。 ……… 8分
（3） 
對任意
恒成立，
對任意恒成立，
當x=1時，
，得
，
或
………………………………………………………………… 14分
17、（2009東城區）已知函數
.
（Ⅰ）設曲線在點
處的切線為
，若與圓
相切，求 的值；
（Ⅱ）當
時,求函數的單調區間.
解: （Ⅰ）依題意有，
.
┄┄┄┄┄3分
因此過點的直線的斜率為
，又
所以，過點的直線方程為
. ……………………….4分
又已知圓的圓心為
，半徑為
，依題意，
，
解得
.
┄………6分
（Ⅱ）
.
因為，所以
，又由已知
.
……………….9分
令
，解得
，令
，解得
.
┄┄┄┄11分
所以,的單調增區間是
,的單調減區間是
. …………13分
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