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遼寧省大連23中2009年高考數學第二輪復習秘笈8:

數學歸納法

一、選擇題(本大題共6小題,每小題3分,共18分)

1.在應用數學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n-3)條時,第一步驗證n等于

A. 1   B.2           C.3           D.0

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2  等式12+22+32+…+n2=

A.n為任何自然數時都成立;  B.僅當n=1,2,3時成立

C.n=4時成立,n=5時不成立; D.僅當n=4時不成立

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3.用數學歸納法證明不等式+…+(n≥2,n∈N*)的過程中,由n=k逆推到n=k+1時的不等式左邊

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A. 增加了1項;  B.增加了“”,又減少了“

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C.增加了2項  D.增加了,減少了

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4.用數學歸納法證明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3?5?…(2n-1)(n∈N*)時,假設n=k時成立,若證n=k+1時也成立,兩邊同乘

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A.2k+1      B.   C.    D.

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5.證明1++…+ (n∈N*),假設n=k時成立,當n=k+1時,左端增加的項數是

A. 1項          B.k-1項    C.k項          D.2k

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6.上一個n級臺階,若每步可上一級或兩級,設上法總數為f(n),則下列猜想中正確的是

A.f(n)=n                  B.f(n)=f(n-1)+f(n-2)

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C.f(n)=f(n-1)?f(n-2)  D.f(n)=

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二、填空題(本大題共5小題,每小題3分,共15分)

7.凸n邊形內角和為f(k),則凸k+1邊形的內角和f(k+1)=f(k)+___________.

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8.觀察下列式子:1+,1+,1+,…則可歸納出:___________.

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9.設f(n)=(1+,用數學歸納法證明f(n)≥3.在“假設n=k時成立”后,f(k+1)與f(k)的關系是f(k+1)=f(k)?___________.

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10.有以下四個命題:(1)2n>2n+1(n≥3)  (2)2+4+6+…+2n=n2+n+2(n≥1)  (3)凸n邊形內角和為f(n)=(n-1)π(n≥3)  (4)凸n邊形對角線條數f(n)= (n≥4).其中滿足“假設n=k(k∈N,k≥n0).時命題成立,則當n=k+1時命題也成立.”但不滿足“當n=n0(n0是題中給定的n的初始值)時命題成立”的命題序號是___________.

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11.用數學歸納法證明(a,b是非負實數,n∈N*)時,假設n=k命題成立之后,證明n=k+1命題也成立的關鍵是___________.

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三、解答題(本大題共3小題,每小題9分,共27分)

12.已知an=n∈N*求證:an<1.

 

 

 

 

 

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13.平面內有n個圓,其中任何兩個圓都有兩個交點,任何三個圓都沒有共同的交點,試證明這n個圓把平面分成了n2-n+2個區域.

 

 

 

 

 

 

 

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14.設f(k)是滿足不等式log2x+log2(3?2k-1-x)≥2k-1(k∈N*)的正整數x的個數.

(1)求f(k)的解析式;

(2)記Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),Pn=n2+n-1(n∈N*)試比較Sn與Pn的大小.

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一、1.C  2.B  3.B  4.C  5.D  6.D    二、7.180°

8.1+

9.(1+  10.(2)(3)  11.兩邊同乘以

三、12.證明:(1)當n=1時,a1=<1,不等式成立.

(2)假設n=k(k≥1)時,不等式成立,即ak=<1

亦即1+22+33+…+kk<(k+1)k

當n=k+1時

ak+1=

==()k<1.

∴n=k+1時,不等式也成立.

由(1)、(2)知,對一切n∈N*,不等式都成立.

13.證明:(1)當n=1時,一個圓把平面分成兩個區域,而12-1+2=2,命題成立.

(2)假設n=k(k≥1)時,命題成立,即k個圓把平面分成k2-k+2個區域.

當n=k+1時,第k+1個圓與原有的k個圓有2k個交點,這些交點把第k+1個圓分成了2k段弧,而其中的每一段弧都把它所在的區域分成了兩部分,因此增加了2k個區域,共有k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2個區域.

∴n=k+1時,命題也成立.

由(1)、(2)知,對任意的n∈N*,命題都成立.

14.解:(1)∵log2x+log2(3?2k-1-x)≥2k-1

,解得2k-1≤x≤2k, ∴f(k)=2k-2k-1+1=2k-1+1

(2)∵Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)=1+2+22+…+2n-1+n=2n+n-1

∴Sn-Pn=2n-n2

n=1時,S1-P1=2-1=1>0;n=2時,S2-P2=4-4=0

n=3時,S3-P3=8-9=-1<0;n=4時,S4-P4=16-16=0

n=5時,S5-P5=32-25=7>0;n=6時,S6-P6=64-36=28>0

猜想,當n≥5時,Sn-Pn>0

①當n=5時,由上可知Sn-Pn>0

②假設n=k(k≥5)時,Sk-Pk>0

當n=k+1時,Sk+1-Pk+1=2k+1-(k+1)2=2?2k-k2-2k-12(2k-k2)+k2-2k-1

=2(Sk-Pk)+k2-2k-1>k2-2k-1=k(k-2)-1≥5(5-2)-1=14>0

∴當n=k+1時,Sk+1-Pk+1>0成立

由①、②可知,對n≥5,n∈N*,Sn-Pn>0成立即Sn>Pn成立

由上分析可知,當n=1或n≥5時,Sn>Pn

當n=2或n=4時,Sn=Pn

當n=3時,Sn<Pn.   

 


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