絕密★啟用前【博恩試卷聯考版?2009屆高三第一次?數學試題?A區專用?第頁(共6頁)】博 恩 試 卷
聯 考 版
數學試題?第一次
命題 北京博恩教育數學研究室
(試卷總分150分 考試時間120分鐘)
注：本試卷以選修部分、函數部分內容為主。
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
1.(1＋x)2n(n∈N*)的展開式中，系數最大的項是( )
A.第＋1項 B. 第n項 C.第n＋1項 D.第n項與第n＋1項
2.若集合A ＝{x|ax2－2x＋1＝0}有兩個不同元素.則實數a的最大整數解是 ( )
A.1 B
3.已知函數f(x)＝，則函數f[f(x)]的定義域為( )
A.{x|x≠1} B.{x|x≠2}
C.{x|x≠1或x≠2} D.{x|x≠1且x≠2}
4.(理)極限 的值是( )
A. B.－ C. D.－
(文)已知函數f(x)的導數為f′(x)，若f′(x)<0(a <x <b)且f(b)>0，則在(a ，b)內必有( )
A.f(x)＝0 B.f(x)>
5.(理)北京奧組委在29屆奧運會舉行前夕宣布，將在本次奧運會推出71款貴金屬奧運特許商品新品，主要走中低端路線，一些中低價位的鍍金紀念章售價僅為66元至196元.此次推出的新品包括18款常規鍍金銀類產品、40款中低價位為主的金銀類產品及13款珍藏系列金銀、金玉新工藝紀念章和擺件.為了調查它們的質量，需從這三類產品中抽取一個容量為36的樣本，最適合的抽取樣本的方法是( )
A.簡單隨機抽樣
B.系統抽樣
C.分層抽樣
D.先從珍藏系列金銀、金玉新工藝紀念章和擺件中排除1款，再分層抽樣
(文)某網站欲調查網民對當前網頁的滿意程度，在登錄的所有網民中，收回有效帖子共50000份，其中持各種態度的份數如下表所示.
很滿意
滿意
一般
不滿意
10800
12400
15600
11200
為了了解網民的具體想法和意見，以便決定如何更改才能使網頁更完美，打算從中抽選500份，為使樣本更具有代表性，則在“滿意”態度中要抽取( )
A.108 B
6.(理) 函數 f(x)＝2x2－lnx 的單調增區間是( )
A.(－ ,0)和(，＋∞) B.(0，)
C.(，＋∞) D.(－，0)和(0，)
(文)曲線f(x)＝x3＋x－2在p0點處的切線平行于直線y＝4x－1，則p0點的坐標為 ( )
A.(－1,0) B.(0，－2)
C.(－1，－4)或(1,0) D.(1,4)
7.二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c 對一切x∈R，滿足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(－1)<0，f(0)>0，則( )
A.a＋b＋c<0 B.b<a＋c C.c<2b D.a，b，c均大于0
8.(理)同時拋擲5枚均勻的硬幣80次，設5枚硬幣正好出現2枚正面向上，3枚反面向上的次數為ξ，則ξ的數學期望是( )
A.20 B
(文)已知一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是＝ 2，方差是，那么另一組數據
3x1－2， 3x2－2， 3x3－2， 3x4 －2， 3x5－2的平均數和方差分別為( )
A.2，
B.2,
9.若不等式x4－4x3>2－a對于實數x∈[－1,4]恒成立，則實數a的取值范圍是( )
A.[29，＋∞) B.(29，＋∞) C.(－∞，－27) D.(－25，＋∞)
10.設命題p：不等式()x＋4>m>2x－x2對一切實數x恒成立；命題q：函數
f(x)＝－(7－
A (1 ,4] B.[3 ,4]∪(－∞，1)
C.[3 ,4]∪(－∞，1] D.(－∞，4]
11.已知f(x)是定義在R上的偶函數，對任意的x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立.若f(0)＝0，f(1)＝2，則f(1) ＋ f(2)＋f(3)＋…＋f(2007)的值等于( )
A.2007 B
12.(理)已知實數A＝ (1≤m≤2). 則實數A的取值范圍是 ( ).
A.[7－4，2] B.[，2] C.[，2] D.[，]
(文) 已知實數A ＝ ＋(1≤m≤2).則實數A的取值范圍是 ( )
A.[0，] B.[1，] C.[，1] D.[0,1]
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上.
13.(理) 已知f(x)＝ax2＋bx，a?b≠0，且f(x1)＝f(x2)＝2008.則f(x1＋x2)＝ .
(文) 2log32－log3＋log38＋5－log53＝ .
14.(理)從1,2,3，…，20，這20個數中任取三個數.則這三個數的和能被3整除的概率是 .
(文)在編號為1,2,3，…，n的n張獎券中，采取不放回方式抽獎，若1號為獲獎號碼，則在第k次(1≤k≤n)抽簽時抽到1號獎券的概率為 .
15.某路段檢查站監控錄象顯示，在某時段內，有1000輛汽車通過該站，現在隨機抽取其中的200輛汽車進行車速分析，分析的結果表示為右圖的頻率分布直方圖，則估計在這一時段內通過該站的汽車中速度不小于
16.若一系列函數的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數為“同族函數”，那么函數解析式為y＝x2，值域為{1,4}的“同族函數”共有 .
三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分10分)
已知奇函數f(x)＝
(1)求實數m的值，并在給出的直角坐標系中畫出函數
y＝f(x)的圖象；
(2)若函數f(x)在區間[－1，|a|－2]上單調遞增，試
確定a的取值范圍.
18.(本小題滿分12分)
已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.
(1)解關于a的不等式f(1)>0；
(2)當不等式f(x)>0的解集為(?1,3)時，求實數a，b的值.
19.(本小題滿分12分)
(理)有A、B、C、D四個城市，它們都有一個著名的旅游點，依次記為a，b，c，d，把A、B、C、D和a，b，c，d分別寫成左右兩列，現在一名旅游愛好者隨機用4條線把左右兩邊的字母全部連接起來，構成“一一對應”.已知每連對一個得2分，連錯得0分.
(1)求該愛好者得分的分布列；
(2)求該愛好者得分的數學期望.
(文)已知7件產品中有4件正品和3件次品.
(1)從這7件產品中一次性隨機抽出3件，求抽出的產品中恰有1件正品數的概率；
(2)從這7件產品中一次性隨機抽出4件，求抽出的產品中正品件數不少于次品件數的概率.
20.(本小題滿分12分)
(理)已知函數f(x)＝－(x≤－1)，數列{an}中，a1＝－1，an＝f－1(an－1)(n＝2,3,4，…).
(1)求an，并加以證明；
(2)求
.
(文)某汽車生產企業上年度生產一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x(0＜x＜1)，則出廠價相應提高的比例為0.7x，年銷售量也相應增加.已知年利潤＝(每輛車的出廠價－每輛車的投入成本)×年銷售量.
(1)若年銷售量增加的比例為0.4x，為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應在什么范圍內？
(2)年銷售量關于x的函數為y＝3240(－x2＋2x＋)，則當x為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？
21.(本小題滿分12分)
(理)已知實數a為整數.函數f(x)＝x3－2ax2－
(1)求實數a的值；
(2)求實數b的取值范圍.
(文)已知函數f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c圖像上的點P(1，－2)處的切線方程為y＝－3x＋1.
(1)若函數f(x)在x＝－2時有極值，求f(x)的表達式；
(2)函數f(x)在區間[－2,0]上單調遞增，求實數b的取值范圍.
22.(本小題滿分12分)
設n為正整數，規定：fn(x)＝
，已知f(x)＝ .
(1)解不等式f(x)≤x；
(2)設集合A＝{0,1,2}，對任意x∈A，證明f3(x)＝x；
(3)求f2007()的值；
(4)(理)若集合B＝，證明B中至少包含8個元素.
1.C(系數最大項，即是二項式系數最大的項是中間項，2n為偶數，所以中間項為第n＋1項，故選C.)2.C(因集合有兩個不同的元素，所以方程ax2－2x＋1＝0有兩個不等的解，即 a≠0，Δ＝(－2)2－
3.D(由題意可知≠1，解得x≠1，x≠2，故選D)
4.(理)C(∵ ＝
＝ ＝.故選 C.)
(文)B(因為 f′(x)<0(a <x <b)，所以函數f(x)在區間(a， b) 是減函數，又f(b)>0，所以函數f(x)在(a，b)內必有f(x)>0.故選B)
5.(理)D(珍藏系列金銀、金玉新工藝紀念章和擺件中先去掉一款，分層抽樣時每層都是整數，故選D.)
(文)B(∵＝，∴12400×＝124，故選B.)
6.(理)C(∵f(x) ＝2x2－lnx的定義域為{x| x>0}，又f′(x)＝，令f′(x)>0即>0，由定義域為{x| x>0}，只須解得x>，因此選C.)
(文)C(因為f(x)＝x3＋x－2，所以f′(x)＝3x2＋1.直線y＝4x－1的斜率為4，令f′(x)＝3x2＋1＝4，得x＝±1，f(1)＝0，f(－1)＝－4.f(1)＝0，f(－1)＝－4.所以曲線f(x)＝x3＋x－2在點(1,0)、(－1，－4)處的切線與直線y＝4x－1平行.故選C.)
7.C(當a≠0時，f(x)的圖像的對稱軸為直線x＝1，f(x)＝ax2－2ax＋c，，∴ a<0，b＝－
8.(理)B( 拋擲－次，正好出現2枚正面向上，3枚反面向上的概率為＝，Eξ＝80×＝25，故選B)
(文)D(因為＝2，s2＝；所以＝3－2＝4，
S2＝9s2＝3，故選D)
9.B(令f(x)＝x4－4x3－2，則f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)，所以在區間x∈[－1,4]，f(x)min＝f(3)＝－29.即－29＞－a，∴a>29，故選 B)
10.C(由題意知p，q中有且僅有一個真命題.
若p真，∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，()x＋4＞4；∴
1＜m≤4，若q真，則7－
11.B(令x＝－2即f(2)＝f(－2)＋f(2)，∴f(－2)＝0，又f(x)是偶函數，即 f(2)＝0，∴f(x＋4)＝f(x)， 故f(x)的周期為4.f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2，f(4)＝f(0)＝0.f(2008)＝f(502×4)＝f(0)＝0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋… ＋f(2007)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋ f (2007)＋ f (2008) ＝ 502[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝2008，故選B.)
12.(理)C(原式可看成點P ( 1， 3 )、Q (－，)兩點連線的斜率.令x＝－，y＝(0≤y≤1)；所以x2＋y2＝1(－1≤x≤0 ) .即點Q位于單位圓在第二象限的圓弧上且端點的坐標分別是B (－1,0)、C (0,1). ∴kPB＝；kPC＝2，設過點P與圓弧有公共點的直線方程為l：kx－y－k＋3＝0，則≤1，即k≤.結合圖形綜上可知：A∈[，2].故選C.)
(文)B(思路一：令x＝，y＝.則x2＋y2＝1(x≥0，y≥0).x＝sinθ，y＝cosθ(0≤θ≤). 所以A＝x＋y＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋) ，又≤θ＋≤.則A ∈[1，]，故選B.
思路二：A2＝1＋2＝1＋2，當m＝時，A2最大值為2；當m＝1或4時，A2最小值為1.又∵A＞0，則A∈[1，]，故選B.)
13.(理)0(因為f(x1)＝f(x2)＝2008，所以x1＋x2＝－.則f(x1＋x2)＝0.故答案為0)
(文) (原式＝2log32－5log32＋2＋3log32＋＝，故答案為 )
14.(理) (首先對這20個數按被3除的余數分類①1,4,7,10,13,16,19.②2,5,8,11,14,17,20.③3,6,9,12,15,18. 故所求的概率是＝ .故答案為 )
(文)(因為此問題可看成編號為1,2,3，…，n的n個人進行摸獎且每人摸一張， 編號為k的人摸到一號獎券，又每人摸到每一個號的概率相同.故答案為.)
15.300(小于
16.9(因為函數解析式為y＝x2且值域為{1,4}，所以x＝±1，±2.故“同族函數”共有C ?C＋
17.解：(1)當 x<0時，－x>0，f(－x)＝－(x)2＋2(－x)＝－x2－2x 1分
又f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
∴f(x)＝x2＋2x，∴m＝2，y＝f(x)的
圖象如右所示 4分
(2)由(1)知
f(x)＝ ，由圖象可知，f(x)在[－1,1]上單調遞增，
要使地f(x)在[－1，|a|－2]上單調遞增，
只需 8分
解之得－3≤a<－1或1<a≤310分
18.解：(1)因為 f(1)＝－3＋a(6－a)＋b＝－a2＋
當b ≤－6時，Δ≤0，∴f(1)＞0的解集為Φ 4分
當b＞－6時，3－＜a ＜3＋.
∴f(1)＞0的解集為{a|3－<a<3＋} 6分
(2)∵ 不等式－3x2＋a(6－a)x＋b＞0的解集為(－1,3)
∴f(x)＞0與不等式(x＋1)(x－3)＜0同解 8分
∵3x2－a(6－a)x－b＜0解集為(－1,3) 10分
∴，解之得 12分
19.解：(理)(1)設連對的個數為y，得分為ξ，則y＝0,1,2,4
因此ξ的所有可能的取值為0,2,4,8 2分
P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝4)＝＝；P(ξ＝8)＝＝. 9分
數學?第頁(見反面)所以ξ的分布列為
ξ
0
2
4
8
P
10分
(2)Eξ＝0×＋2×＋4×＋8×＝2
答：該愛好者得分的數學期望為2 12分
(文)(1)抽出的產品中恰有1件正品的可能情況有CC＝12種 2分
從這7件產品中一次性隨機抽出3件的所有可能有C＝35種 4分
則抽出的產品中恰有1件正品數的概率為＝ ……6分
(2)抽出的產品中正品件數不少于次品件數的可能情況有CC＋CC＋C＝31種 9分
從這7件產品中一次性隨機抽出4件的所有可能有C＝35種 11分
所以抽出的產品中正品件數不少于次品件數的概率為 12分
20.解：(理)(1)由f(x)＝－(x≤－1)得f－1(x)＝－(x≤0)，an＝f－1(an－1)＝－. 2分
由a1＝－1，得a2＝－，a3＝－，a4＝－，猜想an＝－. 4分
①當n＝1時，a1＝－1＝－，猜想成立； 5分
數學?第頁②設n＝k時猜想成立，即ak＝－，當n＝k＋1時，
ak＋1＝－＝－
＝－，即猜想對n＝k＋1時也成立.
由①、②知，an＝－對一切n∈N*成立. ………8分
(2) 
＝ ＝
＝ ＝－1. 12分
(文)(1)由題意得：上年度的利潤為(13－10)×5000＝15000萬元；本年度每輛車的投入成本為10×(1＋x)；本年度每輛車的出廠價為13×(1＋0.7x)；本年度年銷售量為5000×(1＋0.4x)，因此本年度的利潤為y＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x2＋1500x＋15000(0＜x＜1)，由－1800x2＋1500x＋15000>15000，解得0＜x＜，所以當0＜x＜時，本年度的年利潤比上年度有所增加. 5分
(2)本年度的利潤為f(x)＝(3－0.9x)×3240×(－x2＋2x＋)＝3240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，則f′(x)＝3240×(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3) 8分
由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3，當x∈(0，)時，f′(x)>0，f(x)是增函數；當x∈(，1)時，f′(x)<0，f(x)是減函數. 10分
∴當x＝時，f(x)取極大值f()＝20000萬元，
因為f(x)在(0,1)上只有一個極大值，所以它是最大值，
所以當x＝時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20000萬元。 12分
21.解：(理)(1)由題設可知，f′(x)＝3x2－4ax－
即3＋
又3－
∴＜a＜.故a＝1 6分
(2)由題設可知，f(x)＝x3－2x2－3x，g(x)＝x3＋(1＋b)x2－b，∴g(x)－f(x)＝(b＋3)x2＋3x－b≥0在區間[－1,2]上恒成立 7分
?)當b＋3＝0，即b＝－3時，g(x)－f(x)＝3(x＋1)≥0在區間[－1,2]上恒成立. 8分
?)當 b＋3≠0，即g(x)－f(x)＝(b ＋ 3)x2＋3x－b＝(b＋3)(x ＋ 1)(x－)≥0，在區間[－1,2]上恒成立
①當b＋3＞0，令 (b ＋ 3)(x ＋ 1)(x － )＝ 0，解得 x ＝－1； x ＝.由題設可知；x＝≤－1，即－3＜b≤－. 10分
②當b＋3＜0，令(b ＋ 3)(x ＋ 1)(x－)＝0，解得x＝－1；x＝.由題設可知；x＝≥2，即－6≤b＜－3 11分
綜上可知： 實數b的取值范圍是－6≤b≤－ ………12分
(文)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b， 2分
因為函數f(x)在x＝1處的切線斜率為－3，
所以f′(1)＝－3＋
又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1. 2分
(1)函數f(x)在x＝－2時有極值，所以f′(－2)＝－12－
解得a＝－2，b＝4，c＝－3 5分
所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3. 6分
(2)因為函數f(x)在區間[－2,0]上單調遞增，所以導函數f′(x)＝－3x2－bx＋b在區間[－2,0]上的值恒大于或等于零， 8分
則，得b≥4， 10分
所以實數b的取值范圍為[4＋∞). 12分
22.解：(1)①當0≤x≤1時，由2(1－x)≤x 得x≥.∴≤x≤1.
②當1＜x≤2時，因x－1≤x 恒成立.∴1＜x≤2.
由①②得f(x)≤x 的解集為{x|≤x≤2}. 3分
(2)∵f(0)＝2，f(1)＝0，f(2)＝1，
∴當x＝0時，f3(0)＝f(f(f(0)))＝f(f(2))＝f(1)＝0；
當 x＝1時，f3(1)＝f(f(f(1)))＝f(f(0))＝f(2)＝1；
當x＝2時，f3(2)＝f(f(f(2)))＝f(f(1))＝f(0)＝2.
即對任意x∈A，恒有f3(x)＝x. 6分 (8分)
(3)f1()＝2(1－)＝，f2()＝f(f())＝f()＝，f3()＝f(f2())＝f()＝－1＝，f4()＝f(f3())＝f()＝2(1－)＝，
一般地，f4k＋r()＝fr() (k，r∈ N*) ∴ f2007()＝f3() ＝ 9分 (12分)
(4)(理)由(1)知，f()＝，∴fn()＝.則f12()＝.∴∈B .
由(2)知，對x＝0，或1，或2，恒有f3(x)＝x，∴f12(x)＝f4×3(x)＝x.則0,1,2∈B.
由(3)知，對x＝，，，，恒有f12(x)＝f4×3(x)＝x，∴，，，∈B.
綜上所述，，0,1,2， ，，，∈B. ∴B中至少含有8個元素. 12分
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