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第十二單元  橢圓、雙曲線、拋物線

一.選擇題

(1) 拋物線上一點的縱坐標為4，則點與拋物線焦點的距離為                   (       )

A  2                       B 3                         C 4                  D 5

(2) 若焦點在x軸上的橢圓的離心率為，則m=                                        (       )

Ａ                      Ｂ                          Ｃ                   Ｄ   

(3) 若方程x²+ky²=2表示焦點在y軸上的橢圓, 那么實數k的取值范圍是                      (       )

A (0, +∞)                 B (0, 2)                     C (1, +∞)            D (0, 1)

(4) 設P是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為,F₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點，若，則                                                  (       )

        A 1或5                     B 6                            C  7                     D  9

(5) 對于拋物線y²=2x上任意一點Q, 點P(a, 0)都滿足|PQ|≥|a|, 則a的取值范圍是  (       )

A [0, 1]                     B (0, 1)                      C           D (-∞, 0)

(6) 若橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，線段F₁F₂被拋物線y²=2bx的焦點分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為                                                                    (        )

A                        B                   C                     D

(7) 已知雙曲線的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線的離心率為          (        )

A                      B                      C                    D 

(8) 設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是拋物線y²=2px(p>0)上的兩點,并且滿足OA⊥OB. 則y₁y₂等于(      )

A ? 4p²                       B 4p²                       C ? 2p²                 D 2p² 

(9) 已知雙曲線的焦點為F₁、F₂，點M在雙曲線上且則點M到x軸的距離為                                                                                                              (        )

           A                 B                        C                  D

(10) 設橢圓的兩個焦點分別為F_1、、F₂，過F₂作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，

若△F₁PF₂為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是                                                   (        )

           A                      B                  C         D 

二.填空題

(11) 若雙曲線的漸近線方程為，它的一個焦點是，則雙曲線的方程是__________.

(12)設中心在原點的橢圓與雙曲線2 x²-2y²=1有公共的焦點,且它們的離心率互為倒數,則該橢圓的方程是              .

(13) 過雙曲線(a＞0，b＞0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于_________．

(14) 以下同個關于圓錐曲線的命題中

       ①設A、B為兩個定點，k為非零常數，，則動點P的軌跡為雙曲線；

       ②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若則動點P的軌跡為橢圓；

       ③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

       ④雙曲線有相同的焦點.

       其中真命題的序號為                 （寫出所有真命題的序號）

三.解答題

(15)點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，.求點P的坐標；

.

(16) 已知拋物線C: y=-x²+6, 點P（2, 4）、A、B在拋物線上, 且直線PA、PB的傾斜角互補.

(Ⅰ)證明:直線AB的斜率為定值;

(Ⅱ)當直線AB在y軸上的截距為正數時, 求△PAB面積的最大值及此時直線AB的方程.

(17) 雙曲線 (a>1,b>0)的焦距為2c,直線l過點(a,0)和(0,b),且點(1,0)到直線l的距離與點(-1,0)到直線l的距離之和s≥c.求雙曲線的離心率e的取值范圍

(18) 已知拋物線的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4、且位于軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5.過A作AB垂直于軸，垂足為B，OB的中點為M.

（1）求拋物線方程；

（2）過M作，垂足為N，求點N的坐標；

（3）以M為圓心，MB為半徑作圓M，當是軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系.

一選擇題:

1.D  

[解析]：點與拋物線焦點的距離就是點與拋物線準線的距離，即

2.B 

[解析]：∵焦點在x軸上的橢圓的離心率為，∴

則m=

3.D 

[解析]： ∵方程x²+ky²=2，即表示焦點在y軸上的橢圓

∴     故

4.C 

[解析]：雙曲線的一條漸近線方程為，故

            又P是雙曲線上一點，故，而，則7

5.C 

[解析]：對于拋物線y²=2x上任意一點Q, 點P(a, 0)都滿足|PQ|≥|a|,

若顯然適合

若，點P(a, 0)都滿足|PQ|≥|a|就是

     即，此時

則a的取值范圍是

6.D 

[解析]： ，

7.D 

[解析]：雙曲線的準線為

拋物線的準線為

因為兩準線重合，故=，=3，則該雙曲線的離心率為

8.A 

[解析]：∵A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是拋物線y²=2px(p>0)上的兩點,并且滿足OA⊥OB.

∴

 則y₁y₂ = ? 4p²

9.C 

[解析]：∵∴點M在以F₁F₂為直徑的圓上

               故由

則點M到x軸的距離為

10.D

[解析]：不妨設點P在 x軸上方，坐標為,∵△F₁PF₂為等腰直角三角形

∴|PF₂|=|F₁F₂|，即，即

故橢圓的離心率e是

二填空題:

11.

[解析]：  因為雙曲線的漸近線方程為，

則設雙曲線的方程是，又它的一個焦點是

故

12.  

[解析]：雙曲線2 x²-2y²=1的焦點為（，離心率為

故橢圓的焦點為（，離心率為,

則，因此該橢圓的方程是  

13. 2

[解析]：設雙曲線(a＞0，b＞0)的左焦點F₁，右頂點為A，因為以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點， 故|F₁M|=|F₁A|，

∴∴

14. ③④

[解析]：根據雙曲線的定義必須有，動點P的軌跡才為雙曲線，

故①錯

∵∴P為弦AB的中點，故

則動點P的軌跡為以線段AC為直徑的圓。故②錯

三解答題

(15) 解:由已知可得點A（－6，0），F（4，0）

設點P的坐標是，由已知得

由于

(16) (Ⅰ)證: 易知點P在拋物線C上, 設PA的斜率為k, 則直線PA的方程是y-4=k(x-2).

代入y=-x²+6并整理得x²+2kx-4(k+1)=0此時方程應有根x_A及2,

由韋達定理得:

2x_A=-4(k+1) , ∴x_A=-2(k+1). ∴y_A=k(x_A-2)+4.=-k²-4k+4. ∴A(-2(k+1), -k²-4k+4).

由于PA與PB的傾斜角互補, 故PB的斜率為-k. 

 同理可得B(-2(-k+1), -k²+4k+4)

∴k_AB=2. 

(Ⅱ) ∵AB的方程為y=2x+b, b>0.代入方程y=-x²+6消去y得x²+2x+b-6=0.

|AB|=2.  

∴S=|AB|d=?2

.

此時方程為y=2x+.

(17) 解:直線l的方程為bx+ay-ab=0.由點到直線的距離公式,且a>1,

得到點(1,0)到直線l的距離d₁ =.

同理得到點(-1,0)到直線l的距離d₂ =.

s= d₁ +d₂==.

由s≥c,得≥c,即5a≥2c².

于是得5≥2e².即4e²-25e+25≤0.

解不等式,得≤e²≤5.由于e>1>0,

所以e的取值范圍是

(18) 解：（1）拋物線

∴拋物線方程為y²= 4x.

（2）∵點A的坐標是（4，4）， 由題意得B（0，4），M（0，2），

又∵F（1，0）， ∴

則FA的方程為y=（x－1），MN的方程為

解方程組

（3）由題意得，圓M的圓心是點（0，2），半徑為2.

當m=4時，直線AK的方程為x=4，此時，直線AK與圓M相離，

當m≠4時，直線AK的方程為  即為

圓心M（0，2）到直線AK的距離，令

時，直線AK與圓M相離；

  當m=1時，直線AK與圓M相切；

          當時，直線AK與圓M相交.

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