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          2007年高考數學試題分類匯編（導數）

 (18) (安徽理  本小題滿分14分)

設a≥0，f (x)=x－1－ln² x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內的單調性并求極值；

（Ⅱ）求證：當x>1時，恒有x>ln²x－2a ln x＋1.

(20)(安徽文 本小題滿分14分)

設函數

　　f（x）=-cos²x-4tsincos+4t²+t²-3t+4,x∈R,

其中≤1，將f(x)的最小值記為g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表達式；

(Ⅱ)詩論g(t)在區間（-1,1）內的單調性并求極值.

19．（北京理 本小題共13分）

如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為．

（I）求面積以為自變量的函數式，并寫出其定義域；

（II）求面積的最大值．

19．（共13分）

解：（I）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖），則點的橫坐標為．

點的縱坐標滿足方程，

解得

　，

其定義域為．

（II）記，

則．

令，得．

因為當時，；當時，，所以是的最大值．

因此，當時，也取得最大值，最大值為．

即梯形面積的最大值為．

9．(北京文)是的導函數，則的值是            3            ．

11．（福建理、文）已知對任意實數，有，且時，，則時（  B  ）

A．                 B．

C．                 D．

22．（福建理 本小題滿分14分）

已知函數

（Ⅰ）若，試確定函數的單調區間；

（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數的取值范圍；

（Ⅲ）設函數，求證：．

22．本小題主要考查函數的單調性、極值、導數、不等式等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查分類討論、化歸以及數形結合等數學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力．滿分14分．

解：（Ⅰ）由得，所以．

       由得，故的單調遞增區間是，

       由得，故的單調遞減區間是．

       （Ⅱ）由可知是偶函數．

       于是對任意成立等價于對任意成立．

       由得．

       ①當時，．

       此時在上單調遞增．

       故，符合題意．

       ②當時，．

       當變化時的變化情況如下表：

單調遞減

極小值

單調遞增

由此可得，在上，．

依題意，，又．

綜合①，②得，實數的取值范圍是．

（Ⅲ），

，

，

由此得，

故．

20．（福建文 本小題滿分12分）

設函數．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若對恒成立，求實數的取值范圍．

20．本題主要考查函數的單調性、極值以及函數導數的應用，考查運用數學知識分析問題解決問題的能力．滿分12分．

解：（Ⅰ），

當時，取最小值，

即．

（Ⅱ）令，

由得，（不合題意，舍去）．

當變化時，的變化情況如下表：

遞增

極大值

遞減

在內有最大值．

在內恒成立等價于在內恒成立，

即等價于，

所以的取值范圍為．

20．(廣東理、文 本小題滿分14分)

已知是實數，函數．如果函數在區間上有

零點，求的取值范圍．

20解: 若 ,  ,顯然在上沒有零點, 所以 

         令      得 

        當 時,  恰有一個零點在上;

        當   即    時, 也恰有一個零點在上;

當  在上有兩個零點時, 則

              或

解得或

因此的取值范圍是   或   ;

12．（廣東文）函數的單調遞增區間是           ．

 12.  

10．（海南理）曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（　　）

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．        Ｄ．

21．（海南理 本小題滿分12分）

設函數

（I）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調性；

（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．

21．解：

（Ⅰ），

依題意有，故．

從而．

的定義域為，當時，；

當時，；

當時，．

從而，分別在區間單調增加，在區間單調減少．

（Ⅱ）的定義域為，．

方程的判別式．

（?）若，即，在的定義域內，故的極值．

（?）若，則或．

若，，．

當時，，當時，，所以無極值．

若，，，也無極值．

（?）若，即或，則有兩個不同的實根，．

當時，，從而有的定義域內沒有零點，故無極值．

當時，，，在的定義域內有兩個不同的零點，由根值判別方法知在取得極值．

綜上，存在極值時，的取值范圍為．

的極值之和為

．

10．（海南文）曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（　　）

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．          Ｄ．

19．（海南文 本小題滿分12分）

設函數

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）求在區間的最大值和最小值．

19．解：的定義域為．

（Ⅰ）．

當時，；當時，；當時，．

從而，分別在區間，單調增加，在區間單調減少．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在區間的最小值為．

又．

所以在區間的最大值為．

20．（湖北理 本小題滿分13分）

已知定義在正實數集上的函數，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．

（I）用表示，并求的最大值；

（II）求證：（）．

20．本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力．

解：（Ⅰ）設與在公共點處的切線相同．

，，由題意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，則．于是

當，即時，；

當，即時，．

故在為增函數，在為減函數，

于是在的最大值為．

（Ⅱ）設，

則．

故在為減函數，在為增函數，

于是函數在上的最小值是．

故當時，有，即當時，．

13．（湖北文）已知函數的圖象在點處的切線方程是，則＿＿＿＿．

19．（湖北文 本小題滿分12分）

設二次函數，方程的兩根和滿足．

（I）求實數的取值范圍；

（II）試比較與的大小．并說明理由．

19．本小題主要考查二次函數、二次方程的基本性質及二次不等式的解法，考查推理和運算能力．

解法1：（Ⅰ）令，

則由題意可得．

故所求實數的取值范圍是．

（II），令．

當時，單調增加，當時，

，即．

解法2：（I）同解法1．

（II），由（I）知，

．又于是

，

即，故．

解法3：（I）方程，由韋達定理得

，，于是

．

故所求實數的取值范圍是．

（II）依題意可設，則由，得

，故．

13．（湖南理）函數在區間上的最小值是        ．

19．（湖南理 本小題滿分12分）

如圖4，某地為了開發旅游資源，欲修建一條連接風景點和居民區的公路，