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2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座五

函數、方程、不等式問題

【知識縱橫】

    函數、方程、不等式的結合，是函數某一變量值一定或在某一范圍下的方程或不等式，體現了一般到特殊的觀念。也體現了函數圖像與方程、不等式的內在聯系，例求兩個函數的交點坐標，一般通過函數解析式組成的方程組來解決。又如例4復合了一次函數、二次函數，并對所得的函數要結合自變量的取值范圍來考慮最值，這就需要結合圖像來解決。

【典型例題】

    【例1】（天津市）已知拋物線，

（1）若，，求該拋物線與軸公共點的坐標；

（2）若，且當時，拋物線與軸有且只有一個公共點，求的取值范圍；

（3）若，且時，對應的；時，對應的，試判斷當時，拋物線與軸是否有公共點？若有，請證明你的結論；若沒有，闡述理由．

【思路點撥】（Ⅰ）令y=0，求方程的兩根；（2）考慮判別式；（3）由不等式及結合圖像解之。

【例2】（黃石市）如圖，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式及其頂點的坐標；

（2）設直線交軸于點．在線段的垂直平分線上是否存在點，使得點到直線的距離等于點到原點的距離？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）過點作軸的垂線，交直線于點，將拋物線沿

其對稱軸平移，使拋物線與線段總有公共點．試探究：拋

物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個

單位長度？

【思路點撥】（2）設,建立關于t的方程；

（3）考慮拋物線向上平移、向下平移兩種情況。

【例3】（吉林長春）已知兩個關于的二次函數與當時，；且二次函數的圖象的對稱軸是直線．

（1）求的值；

（2）求函數的表達式；

（3）在同一直角坐標系內，問函數的圖象與的圖象是否有交點？請說明理由．

【思路點撥】（1）＝（y 1 + y 2）―；（2）由對稱軸的方程，求出a的值；（3）考慮方程根的判別式。

【例4】（廣西南寧）隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業戶計劃投資種植花卉及樹木，根據市場調查與預測，種植樹木的利潤與投資量成正比例關系，如圖①所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函數關系，如圖②所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）

（1）分別求出利潤與關于投資量的函數關系式；

（2）如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？

【思路點撥】：（2）設獲得的利潤是萬元，則＝＋，注意x范圍內最值求法。

【學力訓練】

1、（廣州）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于A、B兩點.

（1）根據圖象，分別寫出A、B的坐標；

（2）求出兩函數解析式；

（3）根據圖象回答：當為何值時，一次函數的函數值大于反比例函數的函數值.

2、（江西省卷）已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是，（其中為常數，且）．

（1）請寫出三條與上述拋物線有關的不同類型的結論；

（2）當時，設與軸分別交于兩點（在的左邊），

與軸分別交于兩點（在的左邊），觀察四點坐標，請寫出一個你所得到的正確結論，并說明理由；

（3）設上述兩條拋物線相交于兩點，直線都垂直于軸，分別經過兩點，在直線之間，且與兩條拋物線分別交于兩點，求線段的最大值．

3、（四川自貢）拋物線的頂點為M，與軸的交點為A、B（點B在點A的右側），△ABM的三個內角∠M、∠A、∠B所對的邊分別為m、a、b.若關

于的一元二次方程有兩個相等的實數根.

（1）判斷△ABM的形狀，并說明理由.

（2）當頂點M的坐標為（－2，－1）時，求拋物線的解析式，并畫出該拋物線的大

致圖形.

（3）若平行于軸的直線與拋物線交于C、D兩點，以CD為直徑的圓恰好與軸相切，

求該圓的圓心坐標.

4、（青海省卷）王亮同學善于改進學習方法，他發現對解題過程進行回顧反思，效果會更好．某一天他利用30分鐘時間進行自主學習．假設他用于解題的時間（單位：分鐘）與學習收益量的關系如圖甲所示，用于回顧反思的時間（單位：分鐘）與學習收益量的關系如圖乙所示（其中是拋物線的一部分，為拋物線的頂點），且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間．

（1）求王亮解題的學習收益量與用于解題的時間之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）求王亮回顧反思的學習收益量與用于回顧反思的時間之間的函數關系式；

（3）王亮如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這30分鐘的學習收益總量最大？

（學習收益總量解題的學習收益量回顧反思的學習收益量）