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新高考數列選題

1．（2000天津）（15）設是首項為1的正項數列，且（=1，2， 3，…），則它的通項公式是=________。

2．（2003天津文）5．等差數列    （    ）A．48     B．49     C．50                                D．51

3．（2001天津）若S_n是數列{a_n}的前n項和，且則是 （     ）

（A）等比數列，但不是等差數列                      （B）等差數列，但不是等比數列

（C）等差數列，而且也是等比數列           （D）既非等比數列又非等差數列

4．（2000天津理）（21）（本小題滿分12分）

（I）已知數列，其中，且數列為等比數列，求常數。

（II）設、是公比不相等的兩個等比數列，，證明數列不是等比數列。

5．（2000天津文）（19）（本小題滿分12分）

設為等差數列，為數列的前項和，已知，，為數列的前項和，求。

6．（2002天津理）21、（本題滿分12分）已知兩點，且點使，，

成公差小于零的等差數列。

（1）點P的軌跡是什么曲線？

（2）若點P坐標為，記為與的夾角，求。

7．（2002天津理）22、（本題滿分14分）已知是由非負整數組成的數列，滿足，，。

(1)求；

(2)證明；

(3)求的通項公式及其前項和。

8．（2003江蘇理）（22）（本小題滿分14分）

設，如圖，已知直線及曲線上的點的橫坐標為作直線平行于軸，交直線作直線平行于軸，交曲線的橫坐標構成數列

（Ⅰ）試求的關系，并求的通項公式；

a₁

（Ⅲ）當時，證明

9．（2003天津理）（22）（本小題滿分14分）

設為常數，且．

（Ⅰ）證明對任意≥1，；

（Ⅱ）假設對任意≥1有，求的取值范圍．

10．（2003天津文）19．（本題滿分12分）

    已知數列

   （Ⅰ）求

   （Ⅱ）證明

1.;  2. c ; 3.B;  5. 解：設等差數列的公差為，則

∵  ，，∴          即

解得 ，。 ∴， ∵  ，∴  數列是等差數列，其首項為，公差為，∴  。                                

10. （Ⅰ）∵a₁=1 . ∴a₂=3+1=4, a₃=3²+4=13 .

   （Ⅱ）證明：由已知a_n－a_n－1=3^n－1,故

所以證得.

9. （1）證法一：（i）當n=1時，由已知a₁=1－2a₀，等式成立；

   （ii）假設當n=k（k≥1）等式成立，則

    那么

    也就是說，當n=k+1時，等式也成立.  根據（i）和（ii），可知等式對任何n∈N，成立.

    證法二：如果設  用代入，可解出.

所以是公比為－2，首項為的等比數列. 

  即

   （2）解法一：由通項公式 

等價于  ……①

   （i）當n=2k－1，k=1，2，…時，①式即為 

        即為  ……②

②式對k=1，2，…都成立，有 

   （ii）當n=2k，k=1，2，…時，①式即為  

即為  ……③         ③式對k=1，2，…都成立，有

  綜上，①式對任意n∈N_*，成立，有

故a₀的取值范圍為

解法二：如果（n∈N_*）成立，特別取n=1，2有 

   因此     下面證明當時，對任意n∈N_*，

   由a_n的通項公式 

   （i）當n=2k－1，k=1，2…時， 

   （ii）當n=2k，k=1，2…時，

故a₀的取值范圍為

8.（Ⅰ）解：∵

∴  ∴

，     ∴

   （Ⅱ）證明：由a=1知  ∵  ∴

∵當  

∴

   （Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當a=1時，

因此

                      =