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2009年盛興中英文學校高三模擬考試

     理科數學    2009年4月2日

一 選擇題（每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．等差數列的前項和為，若，，則（　�。�

Ａ．                Ｂ．                Ｃ．                  Ｄ．

2．“”是“”的（　�。�

Ａ．充分而不必要條件              Ｂ．必要而不充分條件

Ｃ．充要條件                            Ｄ．既不充分也不必要條件

3．.若一個底面為正三角形、側棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則這個棱柱的體積為           

A

 

    2

     

     

     

    A       B   36        C  24        D 

    4．設是非零向量，若函數的圖象是一條直線，則必有（  

    A．            B．            C．         D．

    5對，記函數的最小值是

    （A）0        （B）        （C）       （D）3

    6如圖，和分別是雙曲線

    的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（    ）

    A．                B．         C．         D．

    7．若是互不相同的空間直線，是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是（　　）

    Ａ．若，則              Ｂ．若，則

    Ｃ．若，則                            Ｄ．若，則

    8．四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示，盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半．設剩余酒的高度從左到右依次為，，，，則它們的大小關系正確的是（　�。�

     

     

     

     

     

    Ａ．                Ｂ．               
    Ｃ．                Ｄ．

    二 填空題（每小題5分，共20分；請把答案填在答題卡的相應橫線上）

    9．的值為＿＿＿＿＿＿。

    10 某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有＿＿＿＿＿種（用數字作答）。

    11．在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是              （寫出所有正確結論的編號）．

    ①矩形；②不是矩形的平行四邊形；

    ③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；

    ④每個面都是等邊三角形的四面體；⑤每個面都是直角三角形的四面體．

    12.如圖，是一個人出差從A城出發到B城去，沿途可能經

    過的城市的示意圖，通過兩城市所需的時間標在兩城市之間的連線上（單位：小時），則此人從A城出發到達B城所需的最少時間為         小時。

     

     

     

     

    以下兩個小題中選做一題，三題都選的只計算前兩小題的得分

    。

    13（幾何證明選講選做題）已知圓的半徑為，

    從圓外一點引切線和割線，圓心到  

    的距離為，，則切線的長為 

    ____________．

    14.在極坐標系中，圓心在且過極點的圓的方程為    

    15、已知都是正數，且則的最小值是      

    三 解答題

    16如圖，函數其中()的圖象與軸交于點（0，1）

    （Ⅰ）求的值；

    （Ⅱ）設是圖象上的最高點，M，N是圖象與軸的交點，求與的夾角。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    17．（本小題滿分12分）

    在生產過程中，測得纖維產品的纖度（表示纖維粗細的一種量）共有100個數據，將數據分組如右表：

    （I）在答題卡上完成頻率分布表，并在給定的坐標系中畫出頻率分布直方圖；

    分組

    頻數

    頻率

    4

    0.04

    25

    0.25

    30

    0.30

    29

    0.29

    10

    0.10

    2

    0.02

    合計

    100

    1.00

    （II）估計纖度落在中的概率及纖度小于的概率是多少？

    （III）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值

    （例如區間的中點值是）

    作為代表．據此，估計纖度的期望．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    18. 設函數f（x）=ax3+bx+c（a≠0）為奇函數，其圖象在點（1,f（1））處的切線與直線x－6y－7=0垂直，導函數f＇（x）的最小值為－12.

    （Ⅰ）求a，b，c的值；

    （Ⅱ）求函數f（x）的單調遞增區間，并求函數f（x）在〔－1,3〕上的最大值和最小值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    19  如圖，三棱柱ABC―A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D為AC的中點.

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（Ⅱ）求二面角C1―BD―C的余弦值；
       （Ⅲ）在側棱AA­1上是否存在點P，使得
    CP⊥面BDC1？并證明你的結論.
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    20 如圖，矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為點在邊所在直線上．
    （I）求邊所在直線的方程；
    （II）求矩形外接圓的方程；
    （III）若動圓過點，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程．
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    21 已知函數f（x）=x2－4，設曲線y＝f（x）在點（xn，f（xn））處的切線與x軸的交點為（xn+1,u）（u,N
+），其中為正實數.
    （Ⅰ）用xx表示xn+1；
    （Ⅱ）若a1=4，記an=lg，證明數列｛a1｝成等比數列，并求數列｛xn｝的通項公式；
    （Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是數列｛bn｝的前n項和，證明Tn<3.
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    2009年高三第二學期模擬考試理科數學 da an
    一  CAAAC  CDA
    二  9       10         
   11   ①③④⑤    12    48     
          13               14          15     12 
    三解答：
    （16）本題主要考查三角函數的圖象，已知三角函數值求角，向量夾角的計算等基礎知識和基本的運算能力。 
    滿分14分。 
    解：（Ⅰ）因為函數圖象過點（0，1） 
    所以 ,即 
    因為所以.
    （Ⅱ）由函數及其圖象，得
    
 
    所以 從而
                  

     
    17．本小題主要考查頻率分布直方圖、概率、期望等概念和用樣本頻率估計總體分布的統計方法，考查運用概率統計知識解決實際問題的能力．
    解：（Ⅰ）
    （Ⅱ）纖度落在中的概率約為，纖度小于1.40的概率約為．
    （Ⅲ）總體數據的期望約為
    


    
 
    
  
 
    
 
    
  
  
 
    

    

 
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     18 （Ⅰ）∵為奇函數，
    ∴
    即
    ∴
    ∵的最小值為
    ∴
    又直線的斜率為
    因此，
    ∴，，．
    （Ⅱ）．
    　　　，列表如下：
    極大
    極小
    　　　所以函數的單調增區間是和
    ∵，，
    ∴在上的最大值是，最小值是．
    20解：（I）因為邊所在直線的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為．
    又因為點在直線上，
    所以邊所在直線的方程為．
    ．
    （II）由解得點的坐標為，
    因為矩形兩條對角線的交點為．
    所以為矩形外接圓的圓心．
    又．
    從而矩形外接圓的方程為．
    （III）因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，
    所以，
    即．
    故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支．
    因為實半軸長，半焦距．
    所以虛半軸長．
    從而動圓的圓心的軌跡方程為
    21（Ⅰ）由題可得．
    所以曲線在點處的切線方程是：．
    即．
    令，得．
    即．
    顯然，∴．
    （Ⅱ）由，知，同理．
    　　　故．
    從而，即．所以，數列成等比數列．
    故．
    即．
    從而
    所以
    （Ⅲ）由（Ⅱ）知，
    ∴
    ∴
    當時，顯然．
    當時，
    ∴
    ．
    　　　綜上，． 
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    
				
	



    
	




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