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福建省2009年高考二輪熱點專題

函數與導數

1.設函數的圖象關于原點對稱，的圖象在點處的切線的斜率為，且當時有極值．(Ⅰ)求的值；  (Ⅱ)求的所有極值．

析：主要考察函數的圖象與性質，導數的應用．

解：(Ⅰ)由函數的圖象關于原點對稱，得，

∴，∴．∴，

∴．∴，即．∴．

 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，∴．

由 ，∴．

0

+

0

ㄋ

極小

ㄊ

極大

ㄋ

∴．

2.已知函數在是增函數,在(0,1)為減函數.

（I）求、的表達式；（II）求證:當時,方程有唯一解；

(III）當時,若在∈內恒成立,求的取值范圍.

解:（I）依題意,即,.∵上式恒成立,∴  ①

又,依題意,即,.∵上式恒成立,∴②   由①②得.∴ 

（II）由(1)可知,方程,

設,

令,并由得解知

令由    列表分析:

(0,1)

1

(1,+¥)

-

0

+

遞減

0

遞增

知在處有一個最小值0, 當時,＞0,∴在(0,+¥)上只有一個解.

即當x＞0時,方程有唯一解.

（III）設,

在為減函數 又 所以：為所求范圍.

3.已知函數（為實數）.

（I）若在處有極值，求的值；（II）若在上是增函數，求的取值范圍.

解：（I）由已知得的定義域為   又       

由題意得          

（II）依題意得    對恒成立，

           的最大值為

    的最小值為       又因時符合題意    為所求

4.已知拋物線與直線相切于點．（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

解：（Ⅰ）依題意有，．因此的解析式為；

（Ⅱ）由（）得（），解之得

（）由此可得且，

所以實數的取值范圍是．

5.已知函數，其中．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求函數的單調區間與極值．

解:  （Ⅰ）解：當時，，，又，則．所以，曲線在點處的切線方程為，

即．

（Ⅱ）解：．

由于，以下分兩種情況討論．

（1）當時，令，得到，,

當變化時，的變化情況如下表：

0

0

極小值

極大值

所以在區間,內為減函數，在區間內為增函數

故函數在點處取得極小值，且，

函數在點處取得極大值，且．

（2）當時，令，得到，

當變化時，的變化情況如下表：

0

0

極大值

極小值

所以在區間,內為增函數，在區間內為減函數．

函數在處取得極大值，且．

函數在處取得極小值，且．

6．已知，，.

（1）求過點的切線方程；（2）當a=1時，求的單調遞減區間；

（3）是否存在實數a，使的極大值為3？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由.

解：（1）切線的斜率為，  ∴ 切線方程為.

（2）當.

∴的單調遞減區間為：，.

（3），

令.

列表如下：

x

(－∞，0)

0

（0，2－a）

2－a

(2－a，+ ∞)

－

0

+

0

－

ㄋ

極小

ㄊ

極大

ㄋ

由表可知，.  

設，∴上是增函數，

 ∴ ，即，∴不存在實數a，使極大值為3.

7．已知函數（為自然對數的底數）．求函數的最小值；

（本小題主要考查函數的導數、最值、等比數列等基礎知識，考查分析問題和解決問題的能力、以及創新意識）

解：∵，令，得．

∴當時，，當時，．

∴函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．

∴當時，有最小值1．

8．設函數（1）求函數的極大值；

（2）若時，恒有成立（其中是函數的導函數），試確定實數a的取值范圍．

解：（1）∵，且，當時，得；當時，得；∴的單調遞增區間為；的單調遞減區間為和．故當時，有極大值，其極大值為．

（2）∵，

當時，，∴在區間內是單調遞減．

∴．∵，

∴此時，．當時，．

∵，∴即

此時，．綜上可知，實數的取值范圍為．

9.設函數的圖像與直線相切于點.

（Ⅰ）求的值；         （Ⅱ）討論函數的單調性。

【解析】（Ⅰ）求導得,

由于的圖像與直線相切于點,所以

即,解得

（Ⅱ）由得：

令，解得或；由，解得.

故函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

10．若函數，當時，函數有極值，

（1）求函數的解析式；（2）若函數有3個解，求實數的取值范圍．

解：   

（1）由題意 解得 &n