圓錐曲線專題精選
近三年廣東高考圓錐曲線考題（解答題）特點：
1．題目位置前移，難度降低，己成為中檔題；
2．都在知識交匯處設計試題，常有兩個圓錐曲線作載體；
3．突出考查方程和方程組的方法。
2009年高考展望預測：堅持這幾年成功的命題方向，主要是難度和風格，
但要強化圓的地位，弱化雙曲線，關注函數與圓錐曲線交匯處的試題。
(1)
解答題：解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．
1．過拋物線
的焦點作直線
交拋物線
于
、
兩點，過點
、
分別作拋物線
的切線
和
．
（1） 證明：
；
（2）設切線和交
軸于
、
,當直線轉動時,
求四邊形
面積的最小值．
2．設點
，點
在
軸上移動，點
在
軸正半軸上移動，動點
滿足：①
；②
。
（1）求點的軌跡方程；
（2）若
；經過
中點的直線
交軸于
，且
，設
； ①求數列
的通項公式；②試比較
與
的大小．
3．已知函數
和
的圖像關于點（1，2）對稱，且
。
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）把的圖像繞它的頂點逆時針方向旋轉
，并把圖像按向量
＝（1，1）（向左和向上分別移1個單位）平移得到新的曲線C。
（1） 寫出曲線C的方程及焦點坐標；
（2） 過焦點作直線交C于A、B，交軸于D，若
∶
＝1∶2，求直線OA、OB的斜率。
4． 已知在平面直角坐標系
中，若在曲線
的方程
中以
為正實數）代替
得到曲線
的方程
，則稱曲線
關于原點“伸縮”，變換
稱為“伸縮變換”，
稱為伸縮比．
(1) 已知曲線的方程為
，伸縮比
，求關于原點“伸縮變換”后所得曲線
的標準方程；
(2) 射線的方程
，如果橢圓
經“伸縮變換”后得到橢圓，若射線與橢圓
分別交于兩點
，且
，求橢圓的標準方程；
(3) 對拋物線
，作變換
，得拋物線
；對作變換
得拋物線
，如此進行下去，對拋物線
作變換
,得拋物線
．若
，求數列
的通項公式
．
(2)
解答題：解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．
1．已知A、B分別是橢圓
的左右兩個焦點，O為坐標原點，點P
）在橢圓上，線段PB與y軸的交點M為線段PB的中點。
（1）求橢圓的標準方程；
（2）點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于△ABC，求
的值。
2．橢圓
的兩個焦點F1、F2，點P在橢圓C上，且P
F1⊥PF2, | P F1|=
, | P F2|=
.
（I）求橢圓C的方程；
（II）若直線L過圓
的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關于點M對稱，求直線L的方程。
3．已知直線1：mx－y＝0， 2：x＋my－m－2＝0.
（1）求證：1 ⊥ 2
（2）求證：對m的任意實數值，1和2的交點P在一定圓上；
（3）若1與定圓另一交點為P1，2與定圓另一交點為P2，求當ΔPP1P2的面積取得最大值時1的方程。
4
已知拋物線y2=2px(p＞0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|≤2p
(1)求a的取值范圍
(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值
5、有一張長為8，寬為4的矩形紙片ABCD，按圖示方法進行折疊，使每次折疊后點B都落在AD邊上，此時將B記為
（注：圖中EF為折痕，點F也可落在邊CD上）。過作
交EF于T點，求T點的軌跡方程。
6．.設
，橢圓方程為
，拋物線方程為
如圖6所示，過點
作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點
。
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P,使得
為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）
(3)
解答題：解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．
1． 在平面直角坐標系中，設二次函數
的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設定點A是圓C經過的某定點（其坐標與
無關），問是否存在常數
使直線
與圓
交于點
，且
．若存在,求
的值;若不存在,請說明理由.
2．設x1、x2ÎR,常數m＞0,定義運算“*”：
.
(1) 若x≥0,
,求動點P(x,y)的軌跡C的方程并說明軌跡C的形狀；
(2) 設A(x,y)是坐標平面上任一點,定義d1(A)=
,
d2(A)=
,計算d1(A)、d2(A),并說明d1(A)和d2(A)的
幾何意義；
(3) 在(1)中的軌跡C上，是否存在不同兩點A1(x1,y1)、A2(x2,y2)，使之滿足d1(Ai)=
?d2(Ai)(i=1,2)，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
3．設F1、F2分別為橢圓C：
(a＞b＞0)的左、右焦點.（1）設橢圓C上的點
到F1、F2兩點距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標． （2）設點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段
的中點的軌跡方程.
4、半徑為1的圓柱體與地平面切于B點，在離地平面距離為3的上方放一個與地平面平行的平面鏡，在圓柱體的左側地面上有一點光源A，AB=5，如圖，求地面上圓柱體右側被光照射的長度MN。
5. 在平面內,已知定點A定到直線L的距離為
，動點M到A點的距離等于它到直線L的距離.
(1)建立適當的坐標系，求動點M的軌跡方程;
(2)設點
, 
在(1) 中的軌跡上，若
，
證明： 
、
、A三點共線.
(4) 在(2) 條件下求∆
（O是坐標原點）的最小面積.
(4)
解答題：解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．
1． 已知圓
，
內接于此圓，
點的坐標
，
為坐標原點．
（Ⅰ）若的重心是
,求直線
的方程；（三角形重心是三角形三條中線的交點，并且重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的兩倍）
（Ⅱ）若直線
與直線
的傾斜角互補，求證：直線的斜率為定值．
2．如圖直線
與
相交于點，
，點
，以
為端點的曲線上的任意一點到的距離與到點
的距離相等，若
是銳角三角形
，建立適當的坐標系，求曲線的方程。
3．已知雙曲線
的兩個焦點分別為
且
.又雙曲線C上的任意一點E滿足
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若雙曲線C上的點P滿足
的值；
（3）若直線
與雙曲線C交于不同兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過點A（0，－1），求實數m的取值范圍.
4．有一幅橢圓型彗星軌道圖，長
，如下圖，已知O為橢圓中心，A1，A2是長軸兩端點，太陽位于橢圓的左焦點F處.
（Ⅰ）建立適當的坐標系，寫出橢圓方程，并求出當彗星運行到太陽正上方時二者在圖上的距離；
|
和圓C：
。
的兩段圓弧？為什么？
交拋物線y2=4x于A、B兩點.
當m變化時，求
的值；
上的射影為D、E，連結AE、BD相交于一點N，則當m變化時，點N為定點的充要條件是n=－2.
，已知圓心在第二象限、半徑為
的圓
相切于坐標原點
．橢圓
與圓
．
，使
的距離等于線段
的長，若存在，請求出點
分別在
處取得極小值、極大值.
平面上點
的坐標分別為
、
，該平面上動點
滿足
,點
是點
的對稱點.求
與橢圓
相交于A、B兩點。
寫出具有類似特性的性質，并加以證明。
，聯列
，所以
（3）由（2）得
，過點
．
，
，由于
，設
，
，且
，
，得
或
，
在
遞增，從而在
遞增，所以
．
，
，
則
；
∴
；
；
，∵
∴點
．
，代入
，∴
，設
，∴
；令
得：
；
；∴只要比較
與
的大�。�
時
；
時，
。
時
；當
時
．
，
）是P關于（1，2）的對稱點，則Q（
，
，它的圖像是頂點為（－1，－1），開口向上的拋物線，把
，焦點坐標為（0，
）
消去
，
）、B（
，
），顯然
∶
＝1∶2
(3)
，
，
，得
； 
“伸縮變換”，對
，
，（3分）
得點A的坐標為
； 
得點B的坐標為
； 
＝
＝
，
，解得
，
或
． 
：
作變換
：
得
，
，即
， 
＝
,
，（13分）
）
，
．
是線段
的中點 
是△
的中位線
∴
=1
（2）∵點C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個焦點
，a=3.
故橢圓的半焦距c=
,
＝1.
解得
，
即8x-9y+25=0. (經檢驗，符合題意)
x2且
①
②
③
＝
，即直線l的斜率為
，消去m得，
