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2009年高考數學難點突破專題輔導十一

難點11  函數中的綜合問題

函數綜合問題是歷年高考的熱點和重點內容之一，一般難度較大，考查內容和形式靈活多樣.本節課主要幫助考生在掌握有關函數知識的基礎上進一步深化綜合運用知識的能力，掌握基本解題技巧和方法，并培養考生的思維和創新能力.

●難點磁場

(★★★★★)設函數f(x)的定義域為R，對任意實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當x>0時f(x)<0且f(3)=－4.

(1)求證：f(x)為奇函數；

(2)在區間［－9，9］上，求f(x)的最值.

●案例探究

［例1］設f(x)是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線x=1對稱，對任意x₁、x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂),且f(1)=a>0.

(1)求f()、f();

(2)證明f(x)是周期函數；

(3)記a_n=f(n+),求

命題意圖：本題主要考查函數概念，圖象函數的奇偶性和周期性以及數列極限等知識，還考查運算能力和邏輯思維能力.

知識依托：認真分析處理好各知識的相互聯系，抓住條件f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂)找到問題的突破口.

錯解分析：不會利用f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂)進行合理變形.

技巧與方法：由f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂)變形為是解決問題的關鍵.

(1)    解：因為對x₁,x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂),所以f(x)=≥0,

x∈［0,1］

又因為f(1)=f(+)=f()?f()=［f()］²

f()=f(+)=f()?f()=［f（）］²

又f(1)=a>0

∴f()=a,f()=a

(2)證明：依題意設y=f(x)關于直線x=1對稱，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈R.

又由f(x)是偶函數知f(－x)=f(x),x∈R

∴f(－x)=f(2－x),x∈R.

將上式中－x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是R上的周期函數，且2是它的一個

周期.

(3)解：由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］

∵f()=f(n?)=f(+(n－1) )=f()?f((n－1)?)

=……

=f()?f()?……?f()

=［f()］ⁿ=a

∴f()=a.

又∵f(x)的一個周期是2

∴f(2n+)=f(),因此a_n=a

∴

［例2］甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數為b,固定部分為a元.

(1)把全程運輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數，并指出這個函數的定義域；

(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

命題意圖：本題考查建立函數的模型、不等式性質、最值等知識，還考查學生綜合運用所學數學知識解決實際問題的能力.

知識依托：運用建模、函數、數形結合、分類討論等思想方法.

錯解分析：不會將實際問題抽象轉化為具體的函數問題，易忽略對參變量的限制條件.

技巧與方法：四步法：(1)讀題；(2)建模；(3)求解；(4)評價.

解法一：(1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為,全程運輸成本為y=a?+bv²?=S(+bv)

∴所求函數及其定義域為y=S(+bv),v∈(0,c.

(2)依題意知，S、a、b、v均為正數

∴S(+bv)≥2S                      ①

當且僅當=bv,即v=時，①式中等號成立.若≤c則當v=時，有y_min；

若>c,則當v∈(0,c時，有S(+bv)－S(+bc)

=S［(－)+(bv－bc)］= (c－v)(a－bcv)

∵c－v≥0,且c>bc²,∴a－bcv≥a－bc²>0

∴S(+bv)≥S(+bc),當且僅當v=c時等號成立，也即當v=c時，有y_min；

綜上可知，為使全程運輸成本y最小，當≤c時，行駛速度應為v=,當>c時行駛速度應為v=c.

解法二：(1)同解法一.

(2)∵函數y=x+ (k>0),x∈(0,+∞),當x∈(0,)時，y單調減小，當x∈(,+∞)時y單調增加，當x=時y取得最小值，而全程運輸成本函數為y=Sb(v+),v∈(0,c.

∴當≤c時，則當v=時，y最小，若>c時，則當v=c時，y最小.結論同上.

●錦囊妙計

在解決函數綜合問題時，要認真分析、處理好各種關系，把握問題的主線，運用相關的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決，尤其是注意等價轉化、分類討論、數形結合等思想的綜合運用.綜合問題的求解往往需要應用多種知識和技能.因此，必須全面掌握有關的函數知識，并且嚴謹審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件.

●殲滅難點訓練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

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三、解答題

試題詳情

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難點磁場

(1）證明：令x=y=0,得f(0)=0

令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)

∴f(x)是奇函數

(2）解：1°,任取實數x₁、x₂∈［－9,9］且x₁＜x₂,這時，x₂－x₁>0,f(x₁)－f(x₂)=f［(x₁－x₂)+x₂］－f(x₂)=f(x₁－x₂)+f(x₂)－f(x₁)=－f(x₂－x₁)

因為x>0時f(x)＜0,∴f(x₁)－f(x₂)>0

∴f(x)在［－9，9］上是減函數

故f(x)的最大值為f(－9),最小值為f(9).

而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12.

∴f(x)在區間［－9，9］上的最大值為12，最小值為－12.

殲滅難點訓練

一、1.解析：分類討論當a>1時和當0＜a＜1時.

答案：C

2.解析：用特值法，根據題意，可設f(x)=x,g(x)=|x|,又設a=2,b=1,

則f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3.

g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1.∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)=1－2=－1.

又f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3.

g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b).

即①與③成立.

答案：C

二、3.解析：設2^x=t>0，則原方程可變為t²+at+a+1=0                                             ①

方程①有兩個正實根，則

解得：a∈(－1,2－2.

答案：(－1，2－2

三、4.解：(1)當a=0時，函數f(－x)=(－x)²+|－x|+1=f(x),此時f(x)為偶函數；當a≠0時，f(a)=a²+1,f(－a)=a²+2|a|+1,f(－a)≠f(a),f(－a)≠－f(a).此時函數f(x)既不是奇函數也不是偶

函數.

(2)①當x≤a時，函數f(x)=x²－x+a+1=(x－)²+a+,若a≤,則函數f(x)在(－∞,a上單調遞減，從而，函數f(x)在(－∞,a上的最小值為f(a)=a²+1.

若a>,則函數f(x)在(－∞,a上的最小值為f()=+a,且f()≤f(a).?

②當x≥a時，函數f(x)=x²+x－a+1=(x+)²－a+;當a≤－時，則函數f(x)在［a,+∞上的最小值為f(－)=－a,且f(－)≤f(a).若a>－,?則函數f(x)在［a,+∞)上單調遞增，從而，函數f(x)在［a,+∞］上的最小值為f(a)=a²+1.

綜上，當a≤－時，函數f(x)的最小值是－a,當－＜a≤時，函數f(x)的最小值是a²+1;當a>時，函數f(x)的最小值是a+.

5.(1)證明：由 得f(x)的定義域為(－1，1)，易判斷f(x)在(－1，1)內是減函數.

(2)證明：∵f(0)=,∴f^-－1()=0,即x=是方程f^-－1(x)=0的一個解.若方程f^-－1(x)=0還有另一個解x₀≠,則f^-－1(x₀)=0,由反函數的定義知f(0)=x₀≠,與已知矛盾，故方程f^-－1(x)=0有惟一解.

(3)解：f［x(x－)］＜,即f［x(x－)］＜f(0).

6.證明：對f(x)+f(y)=f()中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=－x,又得f(x)+f(－x)=f(0)=0,即f(－x)=－f(x),∴f(x)在x∈(－1,1)上是奇函數.設－1＜x₁＜x₂＜0,則f(x₁)－f(x₂)=f(x₁)+f(－x₂)=f(),∵－1＜x₁＜x₂＜0,∴x₁－x₂＜0,1－x₁x₂>0.∴＜0,于是由②知f()?>0,從而f(x₁)－f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂),故f(x)在x∈(－1,0)上是單調遞減函數.根據奇函數的圖象關于原點對稱，知f(x)在x∈(0,1)上仍是遞減函數，且f(x)＜0.

7.解：(1)因污水處理水池的長為x米，則寬為米，總造價y=400(2x+2×)+248××2+80×200=800(x+)+1600,由題設條件

  解得12.5≤x≤16,即函數定義域為［12.5，16］.

(2)先研究函數y=f(x)=800(x+)+16000在［12.5,16］上的單調性，對于任意的x₁,x₂∈［12.5,16］,不妨設x₁＜x₂,則f(x₂)－f(x₁)=800［(x₂－x₁)+324()］=800(x₂－x₁)(1－),∵12.5≤x₁≤x₂≤16.∴0＜x₁x₂＜16²＜324,∴>1,即1－＜0.又x₂－x₁>0,∴f(x₂)－f(x₁)＜0,即f(x₂)＜f(x₁),故函數y=f(x)在［12.5,16］上是減函數.∴當x=16時，y取得最小值，此時，y_min=800(16+)+16000=45000(元)，=12.5(米）?

綜上，當污水處理池的長為16米，寬為12.5米時，總造價最低，最低為45000元.

8.解：∵f(x)是奇函數，且在(0,+∞)上是增函數，∴f(x)在(－∞,0)上也是增函數.

又f(1)=0,∴f(－1)=－f(1)=0,從而，當f(x)＜0時，有x＜－1或0＜x＜1,

則集合N={m|f［g(θ)］＜θ＝={m|g(θ)＜－1或0＜g(θ)＜1,

∴M∩N={m|g(θ)＜－1.由g(θ)＜－1,得cos²θ>m(cosθ－2)+2,θ∈［0,］,令x=cosθ,x∈［0,1］得：x²>m(x－2)+2,x∈［0,1］，令①：y₁=x²,x∈［0,1］及②y₂=m(m－2)+2,顯然①為拋物線一段，②是過(2，2)點的直線系，在同一坐標系內由x∈［0,1］得y₁>y₂.∴m>4－2,故M∩N={m|m>4－2}.