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第七節  函數的綜合應用

【回顧與思考】

    函數應用

【例題經典】

一次函數與反比例函數的綜合應用

例1 （2006年南充市）已知點A（0，-6），B（-3，0），C（m，2）三點在同一直線上，試求出圖象經過其中一點的反比例函數的解析式并畫出其圖象．（要求標出必要的點，可不寫畫法）．

    【點評】本題是一道一次函數和反比例函數圖象和性質的小綜合題，題目設計新穎、巧妙、難度不大，但能很好地考查學生的基本功．

一次函數與二次函數的綜合應用

例2  （2005年海門市）某校八年級（1）班共有學生50人，據統計原來每人每年用于購買飲料的平均支出是a元．經測算和市場調查，若該班學生集體改飲某品牌的桶裝純凈水，則年總費用由兩部分組成，一部分是購買純凈水的費用，另一部分是其他費用780元，其中，純凈水的銷售價（元/桶）與年購買總量y（桶）之間滿足如圖所示關系．

    （1）求y與x的函數關系式；

    （2）若該班每年需要純凈水380桶，且a為120時，請你根據提供的信息分析一下：該班學生集體改飲桶裝純凈水與個人買材料，哪一種花錢更少？

（3）當a至少為多少時，該班學生集體改飲桶裝純凈水一定合算？從計算結果看，你有何感想（不超過30字）？

    【點評】這是一道與學生生活實際緊密聯系的試題，由圖象可知，一次函數圖象經過點（4，400）、（5，320）可確定y與x關系式，同時這也是一道確定最優方案題，可利用函數知識分別比較學生個人購買飲料與改飲桶裝純凈水的費用，分析優劣．

二次函數與圖象信息類有關的實際應用問題

例3  一蔬菜基地種植的某種綠色蔬菜，根據今年的市場行情，預計從5月1日起的50天內，它的市場售價y₁與上市時間x的關系可用圖（a）的一條線段表示；它的種植成本y₂與上市時間x的關系可用圖（b）中的拋物線的一部分來表示．

    （1）求出圖（a）中表示的市場售價y₁與上市時間x的函數關系式．

    （2）求出圖（b）中表示的種植成本y₂與上市時間x的函數關系式．

    （3）假定市場售價減去種植成本為純利潤，問哪天上市的這種綠色蔬菜既不賠本也不賺錢？

（市場售價和種植成本的單位：元/千克，時間單位：天）

    【點評】本題是一道函數與圖象信息有關的綜合題．學生通過讀題、讀圖．從題目已知和圖象中獲取有價值的信息，是問題求解的關鍵．

【考點精練】

基礎訓練

1．在函數y=，y=x+5，y=x²的圖象中是中心對稱圖形，且對稱中心是原點的有（  ）

    A．0個     B．1個     C．2個     D．3個

2．下列四個函數中，y隨x的增大而減少的是（  ）

    A．y=2x     B．y=-2x+5    C．y=-     D．y=-x²-2x-1

3．函數y=ax²-a與y=（a≠0）在同一直角坐標系中的圖象可能是（  ）

4．函數y=kx-2與y=（k≠0）在同一坐標系內的圖象可能是（  ）

5．如圖是二次函數y₁=ax²+bx+c和一次函數y₂=mx+n的圖象，觀察圖象寫出y₂≥y₁時，x的取值范圍__________．

                   (第5題)                       (第6題)

6．（2006年旅順口）如圖是一次函數y₁=kx+b和反比例函數y₂=的圖象，觀察圖象寫出y₁>y₂時，x的取值范圍是_________．

7．（2005年十堰市）在同一平面直角坐標系中，函數y=kx+k，y=（k>0）的圖像大致是（  ）

8．（2005年太原市）在反比例函數y=中，當x>0時，y隨x的增大而增大，則二次函數y=kx²+2kx的圖像大致是（  ）

能力提升

9．如圖，已知反比例函數y₁=（m≠0）的圖象經過點A（-2，1），一次函數y₂=kx+b（k≠0）的圖象經過點C（0，3）與點A，且與反比例函數的圖象相交于另一點B．

    （1）分別求出反比例函數與一次函數的解析式；

（2）求點B的坐標．

10．如圖，一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D．已知OA=，tan∠AOC=，點B的坐標為（，-4）．

    （1）求反比例函數和一次函數的解析式；

（2）求△AOB的面積．

11．（2005年揚州市）近幾年，揚州市先后獲得“中國優秀旅游城市”和“全國生態建設示范城市”等十多個殊榮．到揚州觀光旅游的客人越來越多，某景點每天都吸引大量游客前來觀光．事實表明，如果游客過多，不利于保護珍貴文物，為了實施可持續發展，兼顧社會效益和經濟效益，該景點擬采用浮動門票價格的方法來控制游覽人數．已知每張門票原價40元，現設浮動票價為x元，且40≤x≤70，經市場調研發現一天游覽人數y與票價x之間存在著如圖所示的一次函數關系．

    （1）根據圖象，求y與x之間的函數關系式；

    （2）設該景點一天的門票收入為w元

       ①試用x的代數式表示w；

②試問：當票價定為多少時，該景點一天的門票收入最高？最高門票收入是多少？

12．（2006年荊門市）某環保器材公司銷售一種市場需求較大的新型產品．已知每件產品的進價為40元．經銷過程中測出銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）存在如圖所示的一次函數關系．每年銷售該種產品的總開支z（萬元）（不含進價）與年銷售量y（萬件）存在函數關系z=10y+42.5．

    （1）求y關于x的函數關系．

    （2）試寫出該公司銷售該種產品年獲利w（萬元）關于銷售單價z（元）的函數關系式（年獲利=年銷售總金額-年銷售產品的總進價-年總開支金額）當銷售單價為x為何值，年獲利最大？最大值是多少？

（3）若公司希望該種產品一年的銷售獲利不低于57.5萬元，請你利用（2）小題中的函數圖象幫助該公司確定這種產品的銷售單價的范圍．在此條件下使產品的銷售量最大，你認為銷售單價應為多少元？

應用與探究

13．（2006年濰坊市）為保證交通完全，汽車駕駛員必須知道汽車剎車后的停止距離（開始剎車到車輛停止車輛行駛的距離）與汽車行駛速度（開始剎車時的速度）的關系，以便及時剎車．下表是某款車在平坦道路上路況良好剎車后的停止距離與汽車行駛速度的對應值表：

行駛速度（千米/時）

40

60

80

…

   停止距離（米）

16

30

48

…

    （1）設汽車剎車后的停止距離y（米）是關于汽車行駛速度x（千米/時）的函數．給出以下三個函數①y=ax+b；②y=（k≠0）；③y=ax²+bx，請選擇恰當的函數來描述停止距離y（米）與汽車行駛速度x（千米/時）的關系，說明選擇理由,并求出符合要求的函數的解析式；

    （2）根據你所選擇的函數解析式，若汽車剎車后的停止距離為70米，求汽車行駛速度．

答案:

例題經典 

例1：解：設直線AB的解析式為y=k₁x+b，則 解得k₁=-2，b=-6．

所以直線AB的解析式為y=-2x-6．

∵點C（m，2）在直線y=-2x-6上，∴-2m-6=2，

∴m=-4，即點C的坐標為C（-4，2），

由于A（0，6），B（-3，0）都在坐標軸上，反比例函數的圖象只能經過點C（-4，2），設經過點C的反比例函數的解析式為y=．則2=，

∴k₂=-8．即經過點C的反比例函數的解析式為y=-．

例2：（1）設y=kx+b，∵x=4時，y=400；x=5時，y=320，

∴ 

∴y與x的函數關系式為y=-80x+720．

（2）該班學生買飲料每年總費用為50×120=6000（元），

當y=380時，380=-80x+720，得x=4.25．

該班學生集體飲用桶裝純凈水的每年總費用為380×4.25+780=2395（元），

顯然，從經濟上看飲用桶裝純凈水花錢少．

（3）設該班每年購買純凈水的費用為W元，

則W=xy=x（-80x+720）=-80（x-）²+1620．

∴當x=時，W_最大值=1620．要使飲用桶裝純凈水對學生一定合算，

則50a≥W_最大值+780，即50a≥1620+780．解之得，a≥48．

所以a至少為48元時班級飲用桶裝純凈水對學生一定合算，

由此看出，飲用桶裝純凈水不僅能省錢，而且能養成勤儉節約的好習慣．

例3：（1）設y₁=mx+n，因為函數圖象過點（0，5.1），（50，2.1），

∴  解得：m=-，n=5.1，

∴y₁=-x+5.1（0≤x≤50）．

（2）又由題目已知條件可設y₂=a（x-25）²+2．因其圖象過點（15，3），

∴3=a（15-25）²+2，∴a=，

∴y₂=x²-x+（或y=（x-25）²+2）（0≤x≤50）

（3）第x天上市的這種綠色蔬菜的純利潤為：y₁-y₂=（x²-44x+315（0≤x≤55）．

依題意：y₁-y₂=0，即x²-44x+315=0，∴（x-9）（x-35）=0，解得：x₁=9，x₂=25．

所以從5月1日起的第9天或第35天出售的這種綠色蔬菜，既不賠本也不賺錢．

考點精練

1．B  2．B  3．A  4．B  5．-2≤x≤1  6．x>3或-2<x<0  7．D  8．D

9．（1）反比例函數解析式為y=，一次函數的解析式為y=x+3．

（2）點B的坐標為B（-1，2）

10．（1）反比例函數解析式為y=-，一次函數為y=-2x-3．

（2）S_△AOB=個平方單位．

11．（1）設函數解析式為y=kx+b，由圖象知：直線經過（50，3500），（60，3000）兩點．

則，

∴函數解析式為y=6000-50x．

（2）①w=xy=x（6000-50x），即w=-50x²+6000x．

②w=-50x²+6000x=-50（x²-120x）=-50（x-60）²+180000，

∴當票價定為60元時，該景點門票收入最高，此時門票收入為180000元．

12．（1）由題意，設y=kx+b，圖象過點（70，5），（90，3），

∴ ∴y=-x+12．

（2）由題意，得w=y（x-40）-z=y（x-40）-（10y+42.5）

=（-+12）（x-40）-10×（-x+12）-42.5

=-0.1x²+17x-642.5=-（x-85）²+80．

當x=85時，年獲利的最大值為80萬元．

（3）令w=57.5，得-0.1x²+17x-642.5=57.5，

整理，得x²-170x+7000=0．解得x₁=70，x₂=100．

由圖象可知，要使年獲利不低于57.5萬元，銷售單價為70元到100元之間．

又因為銷售單位越低，銷售量越大，

所以要使銷售量最大，又使年獲利不低于57.5萬元，銷售單價應定為70元．

13．解：（1）若選擇y=ax+b，

把x=40，y=16與x=60，y=30分別代入得，

而把x=80代入y=0.7x-12得y=44<48，所以選擇y=ax+b不恰當；

若選擇y=（k≠0），由x，y對應值表看出y隨x的增大而增大．

而y=（k≠0）在第一象限y隨x的增大而減小，

所以不恰當；若選擇y=ax²+bx，

把x=40，y=16與x=60，y=30分別代入得 ，而把x=80代入y=0.005x²+0.2x得y=48成立．

所以選擇y=ax²+bx恰當，解析式為y=0.005x²+0.2．

（2）把y=70代入y=0.005x²+0.2x得70=0.005x²+0.2x，

即x²+40x-14000=0，解得x=100或x=-140（舍去），

所以，當停止距離為70米，汽車行駛速度為100千米/時．