2006年河南省示范性普通高中畢業班教學質量調研考試
理科數學
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。
第I卷（選擇題 共60分）
［參考公式］
如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式
如果事件A、B相互獨立，那么 其中R表示球的半徑
如果事件A在一次試驗中發生的概率是 球的體積公式
P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k 
次的概率
其中R表示球的半徑
一、選擇題：
（1）若集合
，
，則
＝
A. 
B.
C. 
D.
（2）已知等差數列
，公差為
，且
，若
，則k＝
A. 6 B.
（3）當
時，
的值等于
A. 1 B. －1 C. i D. －i
（4）設a≠0為常數，已知
和
這兩個展開式中
的系數相等，則a的值為
A. 
B.
C.
D.
（5）曲線
在點P處的切線斜率為k，當k＝3時的P點坐標為
A. （－2，－8） B. （－1，－1），（1，1）
C. （2，8） D.
（
）
（6）函數
的反函數的解析式為
A. 
B.
C. 
D.
（7）為了得到函數
的圖象，可以將函數
的圖象
A. 向右平移
個單位長度 B.
向右平移
個單位長度
C. 向左平移個單位長度 D.
向左平移個單位長度
（8）函數
的最大值是
A. 
B.
C.
D.
（9）在正方體ABCD―A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，則C1O與A1D所成的角為
A. 60° B.
90° C.
D.
（10）設橢圓
、雙曲線
、拋物線
（其中
）的離心率分別為
，則下列結論正確的是
①
②
③
④
⑤
A. ①②⑤ B. ①② C. ②④ D. ③⑤
（11）點O是△ABC所在平面內一點，滿足
＝
，則點O是△ABC的
A. 內心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
（12）函數
的圖象關于直線
對稱，則導函數
的圖象
A. 關于直線對稱 B.
關于直線
對稱
C. 關于點（1，0）對稱 D. 關于點（－1，0）對稱
第II卷（非選擇題 共90分）
（13）若一個正方體的頂點都在同一球面上，則球與該正方體的體積之比為________。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。
（14）已知x，y滿足約束條件
，則
的最小值是________。
（15）已知點
，其中n為正整數。設Sn表示△ABC外接圓的面積，則
＝___________。
（16）對某種產品的6件不同正品和4件不同次品，一一進行測試，到區分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試被全部發現，則這樣的測試方法有________種。（以數字作答）
（17）（本小題滿分12分）
三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
已知函數
的定義域為R。
（I）當
時，求
的單調增區間；
（II）當
，且
，當
為何值時，為偶函數。
（18）（本小題滿分12分）
一種電路控制器在出廠時每四件一等品裝成一箱，工人在裝箱時不小心把兩件二等品和兩件一等品裝入了一箱，為了找出該箱中的二等品，我們對該箱中的產品逐一取出進行測試。
（I）求前兩次取出的都是二等品的概率；
（II）用隨機變量
表示第二個二等品被取出時共取出的件數，求的分布列及數學期望。
（19）（本小題滿分12分）
如圖，在直三柱錐ABC―A1B1C1中，∠ACB＝90°，BC＝CC1＝a，AC＝2a。
（I）求證：AB1⊥BC1；
（II）求二面角B―AB1―C的正切值；
（III）求點A1到平面AB1C的距離。
（20）（本小題滿分12分）
設函數
，其中
。
（I）求a的范圍，使在
上是增函數；
（II）函數在
上能否是增函數？為什么？
（21）（本小題滿分14分）
已知
、D三點不在同一直線上，且
，
，
。
（I）求點E軌跡方程；
（II）過F1作直線以F1、F2為焦點的橢圓C于P、Q兩點，線段PQ的中點到y軸的距離為，且直線PQ與點E的軌跡相切，求該橢圓的方程；
（III）若該圓C的一個頂點T（0，－2），試問能否找到一條斜率為k（k≠0）的直線l，使l與橢圓C交于不同的兩點M，N滿足
。
（22）（本小題滿分12分）
四棱錐S－ABCD的所有棱長均為1米，一只小蟲從S點出發沿四棱錐爬行，若在每一頂點處選擇不同的棱都是等可能的。設小蟲爬行n米后恰回到S點的概率為Pn。
（I）求P2、P3的值；
（II）求證：
；
（III）求證：
【試題答案】
2006年河南省示范性普通高中畢業班教學質量調研考試
一、選擇題
（1）C （2）B （3）D （4）A （5）B
（6）B （7）B （8）D （9）D （10）A
（11）B （12）C
二、填空題
（13）
（14）－6 （15）
（16）576
三、解答題
（17）（本小題滿分12分）
解：（I）當
時，
。
依條件有：
∴
∴
的單調增區間為
6分
（II）設
∴
∴
∴
依條件令
，即
時，為偶函數。 12分
（18）（本小題滿分12分）
解：（I）四件產品逐一取出排成一列共有
種方法，前兩次取出的產品都是二等品的共有
種方法，∴前兩次取出的產品都是二等品的概率為
； 6分
（II）
的所有可能取值為2，3，4，∴的概率分布為
2
3
4
P
∴
12分
（19）（本小題滿分12分）
（I）證明：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，∴AC⊥CC1。
∵AC⊥BC，∴AC⊥平面B1BCC1。
∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影。
∵BC＝CC1，∴四邊形B1BCC1是正方形。
∴BC1⊥B1C。根據三垂線定理得
AB1⊥BC1 4分
（II）解：設
，作OP⊥AB1于點P
連結BP，∵BO⊥AC，且BO⊥B1C，
∴BO⊥平面AB1C
∴OP是BP在平面AB1C上的射影。
根據三垂線定理得AB1⊥BP。
∴∠OPB是二面角B－AB1－C的平面角
∵
在Rt△POB中，
∴二面角B－AB1－C的正切值為
8分
（III）解：解法1：∵A1C1∥AC，AC
平面AB1C，
∴A1C1∥平面AB1C。
∴點A1到平面AB1C的距離與點C1到平面AB1C的距離相等。
∵BC1⊥平面AB1C，
∴線段C1O的長度為點A1到平面AB1C的距離
∴點A1到平面AB1C的距離為
a 12分
解法2：連結A1C，有
設點A1到平面AB1C的距離為h。
∵B1C1⊥平面ACC1A1，∴
?h＝
，
又
∴
，
∴點A1到平面AB1C的距離為
12分
（20）（本小題滿分12分）
解：（I）若在[0，
）上是增函數，則
時
恒成立
即
恒成立
∴
故a的取值范圍是
6分
（II）若
上是增函數
則
恒成立
即
對所有的
均成立
得
，與題設
矛盾。
∴上不是增函數 12分
（21）（本小題滿分14分）
解：（I）設E（x，y），則
由已知得
∴
即為點E的軌跡方程。 4分
（II）設橢圓C的方程為
，過F1的直線為
，P、Q在橢圓C上，
∴
兩式相減，得
①
而
，
代入①得
②
由與圓
相切，得
代入②得
，
而
橢圓C的方程為
9分
（III）假設存在直線
，設MN的中點為
由|TM|＝|TN|，∴TP為線段MN的中垂線，其方程為
又設
相減并由
整理得：
又點P（－4k，2）在橢圓的內部
∴
，解之得
，即k不存在
∴不存在直線l滿足題設條件。 14分
（22）（本小題滿分12分）
解：（I）P2表示從S點到A（或B、C、D），然后再回到S點的概率
所以
；
因為從S點沿SA棱經過B或D，然后再回到S點的概率為
，
所以
4分
（II）設小蟲爬行n米后恰回到S點的概率為Pn，那么
表示爬行n米后恰好沒回到S點的概率，則此時小蟲必在A（或B、C、D）點
所以
8分
（III）由
從而
所以
12分
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