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成都石室中學高2008級一診模擬考試

數學試卷（理）

第Ⅰ卷（選擇題，共60分）

一.選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.函數的圖象        （    ）

  A 關于軸對稱     B 關于軸對稱       C 關于原點對稱        D 關于對稱

2.函數與在同一直角坐標系下的圖象大致是（   ）

3.已知，則是的                    （    ）

   A．必要不充分條件   B．充分不必要條件   C．充要條件         D．既不充分也不必要條件

4.設是第四象限角，，則              （    ）

  A．               B．               C．             D．

5.已知是不重合的兩條直線，是不重合的兩個平面，則下列命題

   ①，則                  ②，則

   ③若，則；     ④，則

   其中真命題個數為                                            （    ）

A．0個           B．1個              C．2個          D．3個

6.在等差數列中，若，則的值為 （    ）    

    A．  14           B．  15           C．  16           D．  17

7.如圖，正方體的棱長為，過點作平面的垂線，垂足為點，

則以下命題中，錯誤的命題是（　　）

Ａ．點是的垂心         Ｂ．垂直平面

Ｃ．直線和所成角為    Ｄ．的延長線經過點

8.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有                                              （    ）

   A．24種           B．18種             C．12種              D．6種

9.定義域為的函數,若關于的方程恰有個不同的實數解，則等于    （    ）

A．          B．            C．1                 D．0

10.已知是等差數列，若且它的前項和有最大值，則當取得最小正值時，為（  ）

   A．11             B．20              C．19                 D．21

11.設等比數列的前項和為，則，的大小關系是（    ）

   A．        B．             C．        D． 不確定

12．設函數，區間M=[a，b](a<b)，集合N={}，則使M=N成立的實數對(a，b)有                                (      )

(A) 2個         (B)1個         (C)  0個        (D)無數多個

Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

二.填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.）

13.若的展開式中第三項是常數項，則   ，且這個展開式中各項的系數和為____

14.在四面體中，兩兩垂直，且，則四面體的

外接球的體積為_______

15.已知O是△ABC內一點，的面積的比值為       

16.已知定義在上的函數的圖象關于點,對稱且滿足，，

，則            

第Ⅱ卷（選擇題，共90分）

二.填空題：

   13.       ,        ； 14.               ；  15.                 ； 16.                

三.解答題：

17.（本小題12分）已知函數．

   （Ⅰ）求函數的最小正周期；

   （Ⅱ）求函數在區間上的最小值和最大值．

18.(本小題12分)

如圖（1）在直角梯形中，，、、分別是、、的中點，現將沿折起，使平面平面（如 圖2）

（Ⅰ）求二面角的大小；

（Ⅱ）在線段上確定一點，使平面，并給出證明過程.

19.(本小題12分)

2008年奧運會即將在北京舉行，為了迎接這次奧運盛會某中學從學生中選出100名優秀學生代表，在舉行奧運之前每人至少參加一次社會公益活動，他們參加活動的次數統計如圖所示從100名優秀代表中任選兩名，

（Ⅰ）求他們參加活動次數恰好相等的概率，

（Ⅱ）用表示這兩人參加活動次數之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數學期望。

20．（本小題12分）

已知數列的前項和為，且.

（Ⅰ）求證：數列為等比數列；

（Ⅱ）求數列的通項公式及前項和，并求；

（Ⅲ）若數列滿足：，，求數列的通項公式.

21．（本小題滿分12分）

設函數

   （I）當a=2時，求f(x)的極值；

   （II）若不等式對所有的實數R均成立，求a的取值范圍.

22．已知函數滿足下列條件：對任意的實數x₁，x₂都有

    和 ， 其中是大于0的常數.

設實數a₀，a，b滿足和

(Ⅰ)證明，并且不存在，使得；

(Ⅱ)證明；

(Ⅲ)證明.

一．DCBAB   CCBAC   CC

二．13．6，1       14.       15.      16. 1

三.17．解：（Ⅰ）．最小正周期為．

   （Ⅱ）函數在區間上的最大值為，

最小值為

18. 就是二面角的平面角.

在中，

，即二面角的大小為.

(2) 當點是線段的中點時，有平面.證明過程如下:

為的中點,∥,又∥,∥,從而、、、四點共面．在中，為的中點，

，又平面，，

，又，平面，即平面. 

解法二:（1）建立如圖所示的空間直角坐標系設平面的法向量為,則

,取

又平面的法向量為所以

即二面角的大小為.

（2）設則

又,平面點是線段的中點.

19．① ………………6分

②可能取值為0，1，2，則                               ………………7分

， ……10分

隨機變量的分布列為

ξ

0

1

2

P

                                                                                                  ………………11分

                   ………12分

20.解：（I）將代入已知，整理得 --3分

又由已知，所以數列是首項為1，公比為2的等比數列. ----------4分

（II）由（I）的結論可得， ∴.     -----------5分

當時，，

由已知，∵當時， ，∴ .  -----7分                         ------8分

（III）由，得，由此式可得

，，，.

把以上各等式相加化簡得   ，   --------10分

∴---------12分

21．解：當a=2時，

設得，那么

當x變化時及變化情況如下表

x

()

－1

(－1，1)

1

()

+

0

－

0

+

極大值

極小值

   （II）若不等式對所有的實數R均成立，

即恒成立，

設g(x)=  ，

時或x=1(列表略)

易知時g(x)取極大值，x=1時g(x)取極小值，

且當時，即g(x)>0

因而g(x)最小值為，解得0<a<ln3

（22）證明：（1）任取，則由 ①

和 ②

可知，，從而；

假設有，使得，則由①式知，，矛盾，因此不存在，使得。

（2）由 ③可知

 ④

由和①得， ⑤

由和②得，              ⑥

將⑤⑥代入④得；

（3）由③式可知，

          （用②式）

                 （用①式）

。