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1.  在一次數學競賽中共有A、B、C三道題，25名參賽者每人至少答對了一題。在所有沒有答對A的學生中，答對B的人數是答對C的人數的兩倍，只答對問題A的人數比既答對A又至少答對其他一題的人數多1。又已知在所有恰好答對一題的參賽者中，有一半沒有答對A。請問有多少學生只答對B？

2.  三角形ABC，如果，

BC + AC = tan C/2 (BC tan A + AC tan B).

則該三角形為等腰三角形。

3.  求證：從正四面體的內切圓圓心到各頂點距離之和小于從空間中任意其他點到各頂點距離之和。

4.  對任何自然數 n以及滿足 sin 2ⁿx 不為 0 的實數x，求證：

1/sin 2x + 1/sin 4x + ... + 1/sin 2ⁿx = cot x - cot 2ⁿx.

5.   a_i （i=1,2,3,4）是互不相同的實數，解方程組（i=1,2,3,4）

|a_i - a₁| x₁ + |a_i - a₂| x₂ + |a_i - a₃| x₃ + |a_i - a₄| x₄ = 1。

6.  在三角形ABC的邊BC、CA、AB上分別任選三內點K、L、M，求證三角形AML、BKM、CLK之中至少有一個的面積小于活等于三角形ABC的四分之一。