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1.   (a)  求所有正整數 n 使得  2ⁿ - 1 能被 7整除；

   (b) 求證不存在正整數 n 使得 2ⁿ + 1 能被 7 整除。

2.  假設a、b、c是某三角形的三邊長，求證：

a²(b + c - a) + b²(c + a - b) + c²(a + b - c) <= 3abc.

3.  三角形ABC的三邊長為別為a、b、c。分別平行于ABC的各邊作三角形ABC內切圓的切線，每條切線都在ABC中又切出一個小三角形，再在每個這樣的小三角形中作內切圓，求這四個內切圓的面積之和（用a,b,c表示）。

4.十七個人互相通信，每一個人都和其他人寫信。在他們的信上一共討論有三個不同的話題，每兩個人只討論一個話題，求證：這些人當中至少有三個人他們所討論的話題是一樣的。

5.平面上有五個點，任意兩點的連線都不平行，也不垂直，現從每一個點向其他四點兩兩連接的直線作垂線，試求出所有這些垂線的交點的最大數目。

6.四面體ABCD的中心是D₀ ，分別過A、B、C作 DD₀ 的平行線，這些線分別交平面BCD、CAD、ABD于點 A₀、 B₀、 C₀，求證：ABCD的體積是A₀B₀C₀D₀的三分之一；再問如果 D₀ 為三角形ABC內的任意一點，結果是否仍然成立？