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1.  設a、b是常數，解方程組

x + y + z = a;     x² + y² + z² = b²;     xy=z²

并求出若使x、y、z是互不相同的正數，a、b應滿足什么條件？

2.  設a、b、c是某三角形的邊，A 是其面積，求證：

a² + b² + c² >= 4√3 A.

并求出等號何時成立。　

3.  解方程 cosⁿx - sinⁿx = 1, 其中n是一個自然數。

4.  P是三角形ABC內部一點，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求證AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一個不大于2，也至少有一個不小于2。

5.  作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，銳角AMB = a,其中M是線斷BC的中點。求證這個三角形存在的充要條件是

b tan(a/2) <= c < b.

又問上式何時等號成立。

6. 三個不共線的點A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一側。在p上任意取三個點A', B', C'， A'', B'', C''設分別是邊AA', BB', CC'的中點，O是三角形A''B''C''的重心。問，當A',B',C'變化時，O的軌跡是什么？