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1. 試找出所有的整數a,b,c滿足1<a<b<c并且(a-1)(b-1)(c-1)是abc-1的因子。

2. 找出所有定義在實數上并且取值也是實數的函數f使得對所有x,y都有

f(x²+f(y))=y+f(x)²。

3. 空間中有9個點，無4點共面，每兩點之間連接一個被染上紅色或藍色或者不染色的線段，試找出最小的n使得，只要恰好有n條線段被染色，這些染色的線段一定包含一個同色三角形（即三角形的三邊被染上相同的顏色）。

4. L是圓Γ的一條切線，M是L上的一點，試找出所有這樣的點P的軌跡：存在L上的關于M對稱的兩點Q,R，△PQR的內切圓是Γ。

5. 設S是三維空間中的一個有限點集， 集合S_x,S_y,S_z分別是S在平面yz,zx,xy上的投影，

求證：|S|²<=|S_x|?|S_y|?|S_z|。

其中|A|表示集合A的元素個數。 

[注：一個點到一個平面上正交投影指的是該點到平面作垂線的垂足。]

6. 對正整數n，S(n)是滿足如下條件最大的整數：對每個正整數k<= S(n)，n²都可寫成k個完全平方數的和。