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1. 設(shè)I是△ABC的內(nèi)心，∠A,∠B,∠C的交平分線分別交對邊于A',B',C'點(diǎn)，求證: 

1

< 

AI?BI?CI

≤

8

4

AA'?BB'?CC'

27

2. 設(shè)n>6是一個(gè)整數(shù)，a₁,a₂,...,a_k 都是小于n的正整數(shù)并且與n互素。

如果a₂-a₁=a₃-a₂=... =a_k-a_k-1>,

求證，n是質(zhì)數(shù)或者是2的冪次方。

3. 試找出最小的整數(shù)n使得每一個(gè)S的n元子集都包含5個(gè)兩兩互素的數(shù)。

4. 設(shè)G是一個(gè)有k條邊的連通圖，試證明可是對這些邊編號1,2,...,k使得對于每個(gè)屬于兩條或兩條以上的邊的頂點(diǎn)， 從這個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有邊的標(biāo)號的最大公約數(shù)是1。

注：一個(gè)圖是由一組頂點(diǎn)和一些連接這些頂點(diǎn)的線段（稱為邊）組成。 每對頂點(diǎn)之間最多有1條邊。如果對圖中的任何兩個(gè)不同的頂點(diǎn)x,y都有一些頂點(diǎn)x=v₀,v₁,..., v_m=y使得v_i,v_i+1(0<=i<m)之間都有一條邊，則稱這個(gè)圖是連通的。

5. X是△ABC內(nèi)部中的一個(gè)點(diǎn)，試證明∠XAB,∠XBC, ∠XCA中至少有一個(gè)不大于30^o。

6. 任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)a>1，試構(gòu)造一個(gè)有界的無限序列x₀,x₁,x₂,... 

使得對任何x≠y都有|x_i-x_j||i-j|^a>=1。 

注：一個(gè)無限實(shí)數(shù)序列x₀,x₁,x₂,... 是有界的如果存在一個(gè)常數(shù)C使得|x_i|<C對任何i成立。