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1.  設 p_n(k) 是集合{1, 2, 3, ... , n} 上具有 k 個固定點的排列的個數，求證 k從 0 到 n 對(k p_n(k) )的求和是 n!。

[一個集合S的一個排列是從S到它自身的一一映射。元素 i 稱為是 f 固定點如果 f(i) = i。]

2. 銳交三角形ABC 的內角A的角平分線交BC于 L，交ABC的外接圓于 N，從 L 點向 AB,AC做垂線，垂足分別是 K、M，求證四邊形 AKNM的面積與三角形ABC的面積相等。

3.  x₁, x₂, ... , x_n 是實數并且滿足x₁² + x₂² + ... + x_n² = 1，求證對每個正整數k >= 2存在不全為0的整數a₁, a₂, ... , a_n，使得對每個 i有|a_i| <= k - 1 及

|a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n| <= (k - 1)√n/(kⁿ-1)。

4. 求證不存在從非負整數到非負整數的函數 f滿足對所有n有 f(f(n)) = n + 1987 成立。 

5. n是大于或等于3的整數，求證存在一個由平面上n個點構成的集合滿足任何兩點的距離都是無理數并且任何三點構成一個面積為有理數的非退化的三角形。

6. n是大于或等于2的整數，如果對所有0<=k<=√n/3都有k² + k + n 是素數，則

當0<=k<=n-2時，k² + k + n 都是素數。