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1.  求證有且僅有一個(gè)三角形，它的邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)，有一個(gè)角是另外一個(gè)角的兩倍。

2.  試找出所有的正整數(shù) n，其各位數(shù)的乘積等于 n² - 10n - 22。

3.  a, b, c 是不全為0的實(shí)數(shù)。x₁, x₂, ... , x_n 是滿足下述方程組的未知數(shù)：

     ax_i² + bx_i + c = x_i+1, 對(duì)于 i=1,2,...,n-1；

     ax_n² + bx_n + c = x_1；

若設(shè) M= (b - 1)² - 4ac ，求證：

4.  求證任何四面體上都有一個(gè)頂點(diǎn)使得經(jīng)過(guò)該頂點(diǎn)的三條邊可構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊。

5.  令f是定義在所有實(shí)數(shù)并取值實(shí)數(shù)的函數(shù)，并且對(duì)于某個(gè) a>0及任何 x>0 有

f(x + a) = 1/2 +√[f(x)-f(x)²]

求證 f 是周期函數(shù)，并且當(dāng) a=1時(shí)請(qǐng)給出一個(gè)非常值函數(shù)的例子。

6.  對(duì)任何自然數(shù) n，試計(jì)算下式的值

[(n+1)/2] + [(n+2)/4] + [(n+4)/8] + ... + [(n+2^k)/2^k+1] + ...

其中[x]表示不超過(guò) x 的最大整數(shù)。