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2005 International Mathematical Olympiad

第一天(4.5小時)

1. 等邊三角形ABC各邊上的六個點A1,A2(∈BC),B1,B2(∈CA),C1,C2(∈AB)構成六邊長相等的凸六邊形A1A2B1B2C1C2.
求證:三條直線A1B2,B1C2,C1A2交于一點.

2. 整數數列a1,a2,……中有無窮多個正項及無窮多個負項.已知,對每個正整數n,數a1,a2,…,an除以n所得到的余數互不相同.
證明:每個整數在數列a1,a2,……中都出現且只出現一次.

3. x,y,z為正數且xyz≥1.求證:
(x5-x2)/(x5+y2+z2)+(y5-y2)/(y5+z2+x2)+(z5-z2)/(z5+x2+y2)≥0.

第二天(4.5小時)
4.試求與無窮數列an=2n+3n+6n－1(n≥1)的一切項均互素的所有正整數.

5.取定凸四邊形ABCD,其中BC=DA,BC與DA不平行.動點E,F分別在線段BC,DA上且滿足BE=DF.直線AC與BD交于P, BD與EF交于Q, EF與AC交于R.求證:當E,F變動時,所有三角形PQR的外接圓周除了P外還有一個公共點.

6.一次數學競賽共給出6道題.已知,每兩題均被多于2/5的選手同時解出,但無一人解出所有6道題.證明:至少有兩人各解出5道題.