東北育才學校07屆高三一輪復習單元測試卷
數 列
一、選擇題：（并大題共12個小題，每小題5分，共60分）
1．在等差數列｛an｝中, a7=9, a13=－2, 則a25=
A．－22
B．－
2．在等比數列｛an｝中, 存在正整數m, 有am=3，am+5=24, 則am+15＝
A．864
B．
3．已知等差數列
的公差為2,若
成等比數列, 則
＝
A．－4
B．－
4．設數列是等差數列，且
是數列的前n項和，則
A．S4>S3 B．S4＝S
5．已知由正數組成的等比數列｛an｝中,公比q=2, a1?a2?a3?…?a30=245, 則a1?a4?a7?…?a28＝
A．25
B．
6．若
是等差數列，首項
，則使前n項和
成立的最大自然數n是
A．4005
B．
7．在等比數列｛an｝中, a1<0, 若對正整數n都有an<an+1, 那么公比q的取值范圍是
A．q>1
B．0<q<
8．已知為等差數列，公差
，
，則
A．60
B．
C．182
D．
9．已知等比數列{an} 的前n項和為Sn , 若S4=1,S8=4，則a13+a14+a15+a16＝
A．7
B．
10．數列
的前
項和為
，若
，則這個數列一定是
A．等比數列 B．等差數列
C．從第二項起是等比數列 D．從第二項起是等差數列
11．等差數列{an}中，
.記
，則S13等于
A．168
B．
12．設
，則的值為
A．9
B．
二、填空題（本大題共4個小題，每小題4分，共16分）
13．設等比數列的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差數列，則q的值為_________________.
14．數列1，1+2，1+2+22，……，1+2+22+……+2n-1，……的前n項和是Sn=_________
15．等差數列
前項和為
，已知
為________時，最大.
16．已知
成等差數列，
成等比數列，則
的值為_________.
三、解答題（本大題共有6個小題，共74分）
17．（本小題滿分12分）
已知數列滿足
.
（1）求
；
（2）證明：
.
18．（本小題滿分12分）
有固定項的數列的前項和
，現從中抽取某一項（不包括首相、末項）后，余下的項的平均值是79.
（1）求數列的通項
；
（2）求這個數列的項數，抽取的是第幾項？
19．（本小題滿分12分）
設實數
，數列是首項為
，公比為
的等比數列，記
，
求證：當
時，對任意自然數都有=
20．（本小題滿分12分）
在公差為
的等差數列和公比為
的等比數列
中，已知
，
，
.
（1）求數列與的通項公式；
（2）是否存在常數
，使得對于一切正整數，都有
成立？若存在，求出常數和
，若不存在，說明理由.
21．（本小題12分）
從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業.根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少
.本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加
。
（1）設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業總收入為bn萬元.寫出an，bn的表達式
（2）至少經過幾年旅游業的總收入才能超過總投入?
22．（本小題滿分14分）
（文科做）設無窮等差數列{an}的前n項和為Sn.
（1）若首項
，公差
，求滿足
的正整數k；
（2）求所有的無窮等差數列{an}，使得對于一切正整數k都有成立.
（理科做）已知函數
.
（1）求函數
的反函數
及其定義域；
（2）數列滿足
，設
，數列的前項和為，試比較與
的大小，并證明你的結論.
1－12 BDBDA BABCABD
13．?2
14．2n＋1－n－2
15．7
16．90
17．（1）∵
∴
.
（2）證明：由已知
，
故
，
∴ 
.
18．（1）由
得
，當
時，
，顯然滿足
，
∴
，
∴數列
是公差為4的遞增等差數列.
（2）設抽取的是第
項，則
，
.
由
，
∵
，∴
，
由
.
故數列共有39項，抽取的是第20項.
19．
。
∴
∴
記
①
②
①+②得
③
，
∴
∴
∴
∴
20．（1）由條件得：
.
（2）假設存在
使
成立，則
對一切正整數恒成立.
∴
， 既
.
故存在常數
使得對于時，都有
恒成立.
21．（1）第1年投入800萬元，第2年投入800×（1－
）萬元……，
第n年投入800×（1－）n－1萬元，
所以總投入an＝800＋800（1－）＋……＋800×（1－）n－1＝4000［1－（
）n］
同理：第1年收入400萬元，第2年收入400×（1＋
）萬元，……，
第n年收入400×（1＋）n－1萬元
bn＝400＋400×（1＋）＋……＋400×（1＋）n－1＝1600×［（
）n－1］
（2）∴bn－an＞0，1600［（）n－1］－4000×［1－（）n］＞0
化簡得，5×（）n＋2×（）n－7＞0
設x＝（）n，5x2－7x＋2＞0
∴x＜
，x＞1（舍)，即（）n＜，n≥5.
22．（文）
（1）當
時，
由
，即 
，
又
.
|
成立
故所得數列不符合題意.
.
，
，
或
，
或
.
，∴
，
， ∴
是等比數列. 
，∴ 
，
，
，當
時，
，
. 
，
.