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四川師大附中高2006屆高三數學總復習（十三）實驗修訂版

§13. 導 數  知識要點

1. 導數（導函數的簡稱）的定義：設是函數定義域的一點，如果自變量在處有增量，則函數值也引起相應的增量；比值稱為函數在點到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函數在點處可導，并把這個極限叫做在處的導數，記作或，即=.

注：①是增量，我們也稱為“改變量”，因為可正，可負，但不為零.

②以知函數定義域為，的定義域為，則與關系為.

2. 函數在點處連續與點處可導的關系：

⑴函數在點處連續是在點處可導的必要不充分條件.

可以證明，如果在點處可導，那么點處連續.

事實上，令，則相當于.

于是

⑵如果點處連續，那么在點處可導，是不成立的.

例：在點處連續，但在點處不可導，因為，當＞0時，；當＜0時，，故不存在.

注：①可導的奇函數函數其導函數為偶函數.

②可導的偶函數函數其導函數為奇函數.

3. 導數的幾何意義：

函數在點處的導數的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，也就是說，曲線在點P處的切線的斜率是，切線方程為

4. 求導數的四則運算法則：

（為常數）

注：①必須是可導函數.

②若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導.

例如：設，，則在處均不可導，但它們和

在處均可導.

5. 復合函數的求導法則：或

復合函數的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.

6. 函數單調性：

⑴函數單調性的判定方法：設函數在某個區間內可導，如果＞0，則為增函數；如果＜0，則為減函數.

⑵常數的判定方法；

如果函數在區間內恒有=0，則為常數.

注：①是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有，有一個點例外即x=0時f（x） = 0，同樣是f（x）遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f（x）在某區間內有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.

7. 極值的判別方法：（極值是在附近所有的點，都有＜，則是函數的極大值，極小值同理）

當函數在點處連續時，

①如果在附近的左側＞0，右側＜0，那么是極大值；

②如果在附近的左側＜0，右側＞0，那么是極小值.

也就是說是極值點的充分條件是點兩側導數異號，而不是=0^①. 此外，函數不可導的點也可能是函數的極值點^②. 當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值�。ê瘮翟谀骋稽c附近的點不同）.

注①： 若點是可導函數的極值點，則=0. 但反過來不一定成立. 對于可導函數，其一點是極值點的必要條件是若函數在該點可導，則導數值為零.

例如：函數，使=0，但不是極值點.

②例如：函數，在點處不可導，但點是函數的極小值點.

8. 極值與最值的區別：極值是在局部對函數值進行比較，最值是在整體區間上對函數值進行比較.

注：函數的極值點一定有意義.

9. 幾種常見的函數導數：

I.（為常數）                      

（）                   

II.                             

III. 求導的常見方法：

①常用結論：.

②形如或兩邊同取自然對數，可轉化求代數和形式.

③無理函數或形如這類函數，如取自然對數之后可變形為，對兩邊求導可得.