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代數推理題怎么解

陜西永壽縣中學   特級教師安振平   

數學是“教會年輕人思考”的科學, 針對代數推理型問題, 我們不但要尋求它的解法是什么, 還要思考有沒有其它的解法, 更要反思為什么要這樣解, 不這樣解行嗎?我們通過典型的問題, 解析代數推理題的解題思路, 方法和技巧. 在解題思維的過程中, 既重視通性通法的演練, 又注意特殊技巧的作用, 同時將函數與方程, 數形結合, 分類與討論, 等價與化歸等數學思想方法貫穿于整個的解題訓練過程當中.

    例1設函數，已知，時恒有，求a的取值范圍.

     講解: 由

         ,

從而只要求直線L不在半圓C下方時, 直線L 的y截距的最小值.

當直線與半圓相切時，易求得舍去）.

故.

本例的求解在于 關鍵在于構造新的函數, 進而通過解幾模型進行推理解題, 當中, 滲透著數形結合的數學思想方法, 顯示了解題思維轉換的靈活性和流暢性.

還須指出的是: 數形結合未必一定要畫出圖形, 但圖形早已在你的心中了, 這也許是解題能力的提升, 還請三思而后行.

    例2 已知不等式對于大于1的正整數n恒成立，試確定a的取值范圍.

    講解: 構造函數，易證(請思考:用什么方法證明呢?)為增函數.

    ∵n是大于1的 正整數，

對一切大于1的正整數恒成立，必須,

即

這里的構造函數和例1屬于同類型, 學習解題就應當在解題活動的過程中不斷的逐類旁通, 舉一反三, 總結一些解題的小結論. 針對恒成立的問題, 函數最值解法似乎是一種非常有效的同法, 請提煉你的小結論.

    例3  已知函數在區間[－b，1－b]上的最大值為25，求b的值.

    講解: 由已知二次函數配方, 得

     時，的最大值為4b²+3=25. 

      上遞增，

      上遞增，

         .

       關于二次函數問題是歷年高考的熱門話題, 值得讀者在復課時重點強化訓練. 針對拋物線頂點橫坐標在不在區間[－b，1－b], 自然引出解題形態的三種情況, 這顯示了分類討論的數學思想在解題當中的充分運用. 該分就分, 該合就合, 這種辨證的統一完全依具體的數學問題而定, 需要在解題時靈活把握.

   例4已知

    的單調區間；

    （2）若

    講解: （1） 對 已 知 函 數 進 行 降 次 分 項 變 形  , 得 ,

    （2）首先證明任意

事實上,

     而

      .

     函 數 與 不 等 式 證 明 的 綜 合 題 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 識 又 考 能 力 的 好 題  型 , 在 高 考 備 考 中 有 較 高 的 訓 練 價 值.. 針對本例的求解, 你能夠想到證明任意采用逆向分析法, 給出你的想法!

     例5  已知函數f(x)=（ａ＞０，ａ≠１）．?

(1) 證明函數f(x)的圖象關于點P()對稱．?

(2) 令a_n＝，對一切自然數n，先猜想使a_n＞ｎ^２成立的最小自然數a,并證明之．?

(3) 求證：∈Ｎ).

講解: (1)關于函數的圖象關于定點P對稱, 可采用解幾中的坐標證法.

設M(x,y)是f(x)圖象上任一點，則M關于P()的對稱點為M’（１－ｘ，１－ｙ），?

∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的圖象上，

故函數f(x)的圖象關于點P()對稱.?

(2)將f(n)、f(1-n)的表達式代入a_n的表達式，化簡可得a_n＝ａ^ｎ猜a=3,

即3^ｎ＞ｎ^２．?

下面用數學歸納法證明．?

設n=k(k≥２)時，3^ｋ＞ｋ^２．?

那么n=k+1，3^ｋ＋１＞３?３^ｋ＞３ｋ^２?

又3k^２－（ｋ＋１）^２＝２（ｋ－）^２－≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）?

∴３^ｎ＞ｎ^２.?

(3)∵３^ｋ＞ｋ^２?

∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ?

令k=1,2,…，n，得n個同向不等式，并相加得：

函數與數列綜合型問題在高考中頻頻出現,是歷年高考試題中的一道亮麗的風景線.針對本例,你能夠猜想出最小自然數a=3嗎? 試試你的數學猜想能力.

    例6 已知二次函數，設方程的兩個實根為x₁和x₂.

   （1）如果，若函數的對稱軸為x=x₀，求證：x₀＞－1；

   （2）如果，求b的取值范圍.

講解:（1）設，由得, 即

            ，

故；

（2）由同號.

①若.

又，負根舍去）代入上式得

，解得；

②若 即4a－2b+3＜0.

同理可求得.

    故當

    對你而言, 本例解題思維的障礙點在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同類問題, 你會很順利的克服嗎? 我們力求做到學一題會一類, 不斷提高邏輯推理能力.

   例7 對于函數，若存在成立，則稱的不動點。如果函數有且只有兩個不動點0，2，且

   （1）求函數的解析式；

   （2）已知各項不為零的數列，求數列通項；

   （3）如果數列滿足，求證：當時，恒有成立.

  講解:  依題意有,化簡為 由違達定理, 得

解得 代入表達式，由

得 不止有兩個不動點，

（2）由題設得     （*）

且          （**）

由（*）與（**）兩式相減得：

解得（舍去）或，由，若這與矛盾，，即{是以-1為首項，-1為公差的等差數列，；

  （3）采用反證法，假設則由（1）知

,有

，而當這與假設矛盾，故假設不成立，.

  關于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實上:

  由得<0或

  結論成立；

  若，此時從而即數列{}在時單調遞減，由，可知上成立.

     比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 數學解題后需要進行必要的反思, 學會反思才能長進.

    例8 設a，b為常數，：把平面上任意一點

 （a，b）映射為函數

   （1）證明：不存在兩個不同點對應于同一個函數；

   （2）證明：當，這里t為常數；

   （3）對于屬于M的一個固定值，得，在映射F的作用下，M₁作為象，求其原象，并說明它是什么圖象.

    講解: （1）假設有兩個不同的點（a，b），（c，d）對應同一函數，即與相同，

即 對一切實數x均成立.

特別令x=0，得a=c；令，得b=d這與（a，b），（c，d）是兩個不同點矛盾，假設不成立.

故不存在兩個不同點對應同函數.

（2）當時，可得常數a₀，b₀，使

=

由于為常數，設是常數.

從而.

（3）設，由此得

在映射F之下，的原象是（m，n），則M₁的原象是

.

消去t得，即在映射F之下，M₁的原象是以原點為圓心，為半徑的圓.

    本題將集合, 映射, 函數綜合為一體, 其典型性和新穎性兼顧, 是一道用“活題考死知識”的好題目, 具有很強的訓練價值.

    例9  已知函數f(t)滿足對任意實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(－2)=－2.

   （1）求f(1)的值;

   （2）證明：對一切大于1的正整數t，恒有f(t)>t；

   （3）試求滿足f(t)=t的整數t的個數，并說明理由.

講解 （1）為求f(1)的值，需令

令.

令.

   （2）令(※)

.

由,

,

于是對于一切大于1的正整數t，恒有f(t)>t.

   （3）由※及（1）可知.

下面證明當整數.

(※)得

即……，

將諸不等式相加得

   .

綜上，滿足條件的整數只有t=1，.

本題的求解顯示了對函數方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，這種賦值法在2002年全國高考第（21）題中得到了很好的考查.

例10  已知函數f（x）在（－1，1）上有定義，且滿足x、y∈（－1，1） 有

．

（1）證明：f（x）在（－1，1）上為奇函數；

（2）對數列求；

（3）求證

    講解  （1）令則

            令則 為奇函數. 

   （2）， 

    是以－1為首項，2為公比的等比數列．

  （3）

 而  

    本例將函數、方程、數列、不等式等代數知識集于一題，是考查分析問題和解決問題能力的范例. 在求解當中，化歸出等比（等差）數列是數列問題常用的解題方法.