2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（福建卷）
數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
祝各位考生考試順利！
第I卷（選擇題 共60分）
注意事項：
1．答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目涂寫在答題卡上．
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．不能答在試題卷上．
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知等差數(shù)列中，，則的值是 （ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
3．在△ABC中，∠C=90°，則k的值是 （ ）
A．5 B．－5 C． D．
4．已知直線m、n與平面，給出下列三個命題：
①若
②若
③若
其中真命題的個數(shù)是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．函數(shù)的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．函數(shù)的部分圖象如圖，則 （ ）
A． B．
C． D．
7．已知p：則p是q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
8．如圖，長方體ABCD―A1B1C1D1中，AA1=AB=2，
AD=1，點(diǎn)E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中
點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成的角是（ ）
A． B．
C． D．
9．從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 （ ）
A．300種 B．240種 C．144種 D．96種
10．已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是 （ ）
A． B． C． D．
11．設(shè)的最小值是 （ ）
A． B． C．－3 D．
12．是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。
13．展開式中的常數(shù)項是 （用數(shù)字作答）。
14．非負(fù)實數(shù)滿足的最大值為 。
15．若常數(shù)b滿足|b|>1，則 .
16．把下面不完整的命題補(bǔ)充完整，并使之成為真命題：
若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于 對稱，則函數(shù)=
。
（注：填上你認(rèn)為可以成為真命題的一件情形即可，不必考慮所有可能的情形）.
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
已知.
（I）求sinx－cosx的值；
（Ⅱ）求的值.
18．（本小題滿分12分）
甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為，投中得1分，投不中得0分.
（Ⅰ）甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求兩人得分之和ξ的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）甲、乙兩人在罰球線各投球二次，求這四次投球中至少一次命中的概率；
19．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)M（－1，f(x)）處的切線方程為x+2y+5=0.
（Ⅰ）求函數(shù)y=f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.
20．（本小題滿分12分）
如圖，直二面角D―AB―E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求證AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B―AC―E的大��；
（Ⅲ）求點(diǎn)D到平面ACE的距離.
21．（本小題滿分12分）
已知方向向量為v=(1,)的直線l過點(diǎn)（0，－2）和橢圓C：的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點(diǎn)E（－2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足，
cot∠MON≠0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由.
22．（本小題滿分14分）
已知數(shù)列{an}滿足a1=a, an+1=1+我們知道當(dāng)a取不同的值時，得到不同的數(shù)列，如當(dāng)a=1時，得到無窮數(shù)列：
（Ⅰ）求當(dāng)a為何值時a4=0；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1=－1, bn+1=，求證a取數(shù)列{bn}中的任一個數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列{an}；
（Ⅲ）若，求a的取值范圍.
一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分.
1.B 2.A 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.B 10.D 11.C 12.D
二、填空題：本大題考查基本知識和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分16分.
13.240 14.9 15.
16.如 ①x軸，－3－log2x ②y軸，3+log2(－x)
③原點(diǎn)，－3－log2(x) ④直線y=x, 2x－3
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)在各象限符號等基本知識，以及推理和運(yùn)算能力.滿分12分.
解法一：（Ⅰ）由
即
又
故
（Ⅱ）
解法二：（Ⅰ）聯(lián)立方程
由①得將其代入②，整理得
故
（Ⅱ）
18．本小題主要考查概率的基本知識，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，以及推理和運(yùn)算能力. 滿分12分.
解：（Ⅰ）依題意，記“甲投一次命中”為事件A，“乙投一次命中”為事件B，則
甲、乙兩人得分之和ξ的可能取值為0、1、2，則ξ概率分布為：
ξ
0
1
2
P
Eξ=0*+1*+2*=
答：每人在罰球線各投球一次，兩人得分之和ξ的數(shù)學(xué)期望為.
（Ⅱ）∵事件“甲、乙兩人在罰球線各投球二次均不命中”的概率為
∴甲、乙兩人在罰球線各投球兩次至少有一次命中的概率
答：甲、乙兩人在罰球線各投球二次，至少有一次命中的概率為
19．本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué) 知識，分析問題和解決問題的能力.滿分12分.
解：（1）由函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)M（－1f(－1)）處的 切線方程為x+2y+5=0，知
20．本小題主要考查直線、直線與平面、二面角及點(diǎn)到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查空間想
象能力，邏輯思維能力與運(yùn)算能力. 滿分12分.
解法一：（Ⅰ）平面ACE.
∵二面角D―AB―E為直二面角，且， 平面ABE.
（Ⅱ）連結(jié)BD交AC于C，連結(jié)FG，
∵正方形ABCD邊長為2，∴BG⊥AC，BG=，
平面ACE，
由三垂線定理的逆定理得FG⊥AC.
是二面角B―AC―E的平面角.
由（Ⅰ）AE⊥平面BCE， 又，
∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.
又直角
，
∴二面角B―AC―E等于
（Ⅲ）過點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)O. OE=1.
∵二面角D―AB―E為直二面角，∴EO⊥平面ABCD.
設(shè)D到平面ACE的距離為h，
平面BCE，
∴點(diǎn)D到平面ACE的距離為
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，OE所在直
線為x軸，AB所在直線為y軸，過O點(diǎn)平行
于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
O―xyz，如圖.
面BCE，BE面BCE， ，
在的中點(diǎn)，
設(shè)平面AEC的一個法向量為，
則
解得
令得是平面AEC的一個法向量.
又平面BAC的一個法向量為，
∴二面角B―AC―E的大小為
（III）∵AD//z軸，AD=2，∴，
∴點(diǎn)D到平面ACE的距離
21．本小題主要考查直線、橢圓及平面向量的基本知識，平面解析幾何的基本方法和綜合解題能力.滿分14分.
（I）解法一：直線， ①
過原點(diǎn)垂直的直線方程為， ②
解①②得
∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，
∵直線過橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）.
故橢圓C的方程為 ③
解法二：直線.
設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)為（p，q），則解得p=3.
∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，
∵直線過橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）.
故橢圓C的方程為 ③
（II）解法一：設(shè)M（），N（）.
當(dāng)直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得
點(diǎn)O到直線MN的距離
即
即
整理得
當(dāng)直線m垂直x軸時，也滿足.
故直線m的方程為
或或
經(jīng)檢驗上述直線均滿足.
所以所求直線方程為或或
解法二：設(shè)M（），N（）.
當(dāng)直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得
∵E（－2，0）是橢圓C的左焦點(diǎn)，
∴|MN|=|ME|+|NE|
=
以下與解法一相同.
解法三：設(shè)M（），N（）.
設(shè)直線，代入③，整理得
即
∴=，整理得
解得或
故直線m的方程為或或
經(jīng)檢驗上述直線方程為
所以所求直線方程為或或
22．本小題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，考試邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.滿分14分.
（I）解法一：
故a取數(shù)列{bn}中的任一個數(shù)，都可以得到一個有窮數(shù)列{an}
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